Страница 149 номер 13.7, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(MA \perp ABC\)
\(AB = AM = 6\) см
\(AC = 2\sqrt{3}\) см

Найти: углы, которые образуют с плоскостью \(ABC\) прямые \(MB\) и \(MC\).

Решение: Поскольку \(MA \perp ABC\), то точка \(A\) — проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC\), а по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(MA \perp AB\) и \(MA \perp AC\). Значит, прямая \(AB\) — проекция прямой \(MB\), а прямая \(AC\) — проекция прямой \(MC\) на плоскость \(ABC\), и треугольники \(MAB\) и \(MAC\) — прямоугольные с прямым углом \(A\).

1) Угол \(MBA\) — острый угол прямоугольного треугольника \(MAB\), поэтому он равен углу между прямой \(MB\) и плоскостью \(ABC\). Треугольник \(MAB\) — равнобедренный (\(AB = AM = 6\) см), значит, \(\angle MBA = 45^\circ\).

2) Угол \(MCA\) — острый угол прямоугольного треугольника \(MAC\), поэтому он равен углу между прямой \(MC\) и плоскостью \(ABC\). Из этого треугольника получаем: \(\operatorname{tg} \angle MCA = \frac{MA}{AC} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\), значит, \(\angle MCA = 60^\circ\).

Ответ: 1) прямая \(MB\) образует с плоскостью \(ABC\) угол \(45^\circ\); 2) прямая \(MC\) образует с плоскостью \(ABC\) угол \(60^\circ\).