Страница 152 номер 13.37, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(AB_1 = AD = 2AA_1\)

Найти: косинус угла между прямыми \(A_1B\) и \(C_1A\).

Решение: Пусть \(AA_1 = x\); тогда \(AB_1 = AD = 2x\). Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, поэтому \(B_1C_1 \perp B_1B\) и \(B_1C_1 \perp B_1A_1\); прямые \(B_1B\) и \(B_1A_1\) плоскости \(AA_1B_1\) пересекаются в точке \(B_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1C_1 \perp AA_1B_1\). Значит, прямая \(AB_1\) — проекция прямой \(C_1A\) на плоскость \(AA_1B_1\) (точка \(A\) лежит в этой плоскости), \(B_1C_1 \perp AB_1\), и острый угол \(C_1AB_1\) прямоугольного треугольника \(AB_1C_1\) равен углу \(\alpha\) между прямой \(C_1A\) и плоскостью \(AA_1B_1\); \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).

Противолежащие стороны прямоугольников \(A_1B_1C_1D_1\) и \(AA_1D_1D\) равны, поэтому \(B_1C_1 = A_1D_1 = AD = 2x\). Прямоугольный треугольник \(AB_1C_1\) равнобедренный: \(AB_1 = B_1C_1 = 2x\), поэтому \(\alpha = \angle C_1AB_1 = 45^\circ\).

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AB_1\) и \(A_1B\) прямоугольника \(AA_1B_1B\), \(\beta\) — угол между прямой \(A_1B\), лежащей в плоскости \(AA_1B_1\), и проекцией \(AB_1\). Из прямоугольного треугольника \(AA_1B_1\) (\(\angle AA_1B_1 = 90^\circ\)) получаем: \(\cos \angle A_1AB_1 = \frac{AA_1}{AB_1} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\), поэтому \(\angle A_1AO = 60^\circ\). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA = OA_1\). Треугольник \(AOA_1\) равнобедренный, и угол при его основании \(AA_1\) равен \(60^\circ\), значит, он равносторонний и \(\angle AOA_1 = 60^\circ\). Следовательно, \(\beta = 60^\circ\).

Если прямая образует с плоскостью угол \(\alpha\), где \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), а прямая, лежащая в этой плоскости, образует с проекцией первой прямой на плоскость угол \(\beta\), то угол \(\gamma\) между этими двумя прямыми удовлетворяет равенству \(\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta\). Прямая \(C_1A\) образует с плоскостью \(AA_1B_1\) угол \(\alpha = 45^\circ\), а прямая \(A_1B\) лежит в этой плоскости и образует с проекцией \(AB_1\) угол \(\beta = 60^\circ\), поэтому для угла \(\gamma\) между прямыми \(A_1B\) и \(C_1A\) \[\cos \gamma = \cos 45^\circ \cdot \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}.\]

Ответ: косинус угла между прямыми \(A_1B\) и \(C_1A\) равен \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).