Страница 145 номер 12.35, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(AB : AD : AA_1 = 3 : 4 : 5\)
\(A \in \alpha\), \(B_1D \perp \alpha\)
\(B_1D \cap \alpha = M\)

Найти: \(B_1M : MD\).

Решение: Точка \(A\) не лежит на прямой \(B_1D\), поэтому \(M \ne A\). Прямая \(AM\) лежит в плоскости \(\alpha\), а прямая \(B_1D\) перпендикулярна этой плоскости, поэтому по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(AM \perp B_1D\).

Ребро \(AD\) перпендикулярно рёбрам \(AB\) и \(AA_1\) (грани \(ABCD\) и \(AA_1D_1D\) — прямоугольники), которые пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp ABB_1\), и, значит, \(AD \perp AB_1\). Следовательно, треугольник \(AB_1D\) прямоугольный (\(\angle B_1AD = 90^\circ\)), а \(AM\) — его высота, проведённая к гипотенузе \(B_1D\).

Пусть \(AB = 3x\), \(AD = 4x\), \(AA_1 = 5x\). Грань \(AA_1B_1B\) — прямоугольник, поэтому \(BB_1 = AA_1 = 5x\) и \(\angle ABB_1 = 90^\circ\); из \(\triangle ABB_1\) получаем, что \(AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 9x^2 + 25x^2 = 34x^2\).

Каждый катет прямоугольного треугольника — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу: \(AB_1^2 = B_1M \cdot B_1D\), \(AD^2 = MD \cdot B_1D\), поэтому \[B_1M : MD = AB_1^2 : AD^2 = 34x^2 : 16x^2 = 17 : 8.\]

Ответ: \(17 : 8\).