Страница 152 номер 13.33, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб

Найти: угол между прямой \(C_1D\) и плоскостью \(ACC_1\).

Решение: Пусть ребро куба равно \(a\), \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) квадрата \(ABCD\). Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому \(DO \perp AC\). Все грани куба — квадраты, поэтому \(CC_1 \perp CB\) и \(CC_1 \perp CD\); прямые \(CB\) и \(CD\) плоскости \(ABC\) пересекаются в точке \(C\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CC_1 \perp ABC\). Значит, \(CC_1 \perp DO\), так как прямая \(DO\) лежит в плоскости \(ABC\). Прямая \(DO\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AC\) и \(CC_1\) плоскости \(ACC_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DO \perp ACC_1\).

Значит, точка \(O\) — проекция точки \(D\) на плоскость \(ACC_1\), и прямая \(C_1O\) — проекция прямой \(C_1D\) на эту плоскость (точка \(C_1\) лежит в плоскости \(ACC_1\)). Поскольку \(DO \perp ACC_1\), то \(DO \perp C_1O\), и угол \(DC_1O\) — острый угол прямоугольного треугольника \(DOC_1\); он равен углу между прямой \(C_1D\) и плоскостью \(ACC_1\).

Диагонали квадратов со стороной \(a\) равны \(a\sqrt{2}\), поэтому \(BD = C_1D = a\sqrt{2}\); диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(DO = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(DOC_1\): \[\sin \angle DC_1O = \frac{DO}{C_1D} = \frac{a\sqrt{2}}{2 \cdot a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}.\]

Угол \(DC_1O\) острый, значит, \(\angle DC_1O = 30^\circ\).

Ответ: прямая \(C_1D\) образует с плоскостью \(ACC_1\) угол \(30^\circ\).