Страница 149 номер 13.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены перпендикуляр \(MA\) и наклонная \(MB\), образующая с плоскостью \(\alpha\) угол \(\varphi\). Найдите: 1) проекцию наклонной \(MB\) на плоскость \(\alpha\), если расстояние от точки \(M\) до этой плоскости равно \(d\); 2) наклонную \(MB\), если её проекция на плоскость \(\alpha\) равна \(a\).
Дано:
\(MA\) — перпендикуляр к плоскости \(\alpha\)
\(MB\) — наклонная к плоскости \(\alpha\)
угол между прямой \(MB\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(\varphi\)
1) расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\) равно \(d\)
2) \(AB = a\)
Найти: 1) \(AB\); 2) \(MB\).
Решение: Точка \(A\) — основание перпендикуляра, поэтому отрезок \(AB\) — проекция наклонной \(MB\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку \(MA \perp \alpha\), то \(MA \perp AB\) и треугольник \(MAB\) — прямоугольный с прямым углом \(A\). Его угол \(MBA\) острый, поэтому он равен углу между наклонной \(MB\) и её проекцией \(AB\), то есть углу между прямой \(MB\) и плоскостью \(\alpha\): \(\angle MBA = \varphi\), где \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\).
1) Расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\) равно длине перпендикуляра \(MA\), поэтому \(MA = d\). Из прямоугольного треугольника \(MAB\) получаем: \(AB = MA \operatorname{ctg} \varphi = d \operatorname{ctg} \varphi\).
2) Из прямоугольного треугольника \(MAB\) получаем: \(\cos \varphi = \frac{AB}{MB}\), откуда \(MB = \frac{AB}{\cos \varphi} = \frac{a}{\cos \varphi}\).
Ответ: 1) проекция наклонной \(MB\) равна \(d \operatorname{ctg} \varphi\); 2) наклонная \(MB\) равна \(\frac{a}{\cos \varphi}\).
