Страница 151 номер 13.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через вершину угла, равного \(60^\circ\), проведена прямая, образующая с каждой из его сторон угол \(60^\circ\). Найдите косинус угла, который образует эта прямая с плоскостью данного угла.
Дано:
\(\angle AOB = 60^\circ\)
прямая \(m\) проходит через точку \(O\)
прямая \(m\) образует с каждой из сторон угла \(AOB\) угол \(60^\circ\)
Найти: косинус угла между прямой \(m\) и плоскостью \(AOB\).
Решение: Пусть \(OD\) — луч прямой \(m\), для которого \(\angle DOA = \angle DOB = 60^\circ\).
Если через вершину \(O\) угла \(AOB\) проведена прямая \(OD\) так, что \(\angle DOA = \angle DOB = \alpha\), где \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), то проекция прямой \(OD\) на плоскость \(AOB\) содержит биссектрису угла \(AOB\). Здесь \(\alpha = 60^\circ\), поэтому проекция прямой \(m\) на плоскость \(AOB\) содержит биссектрису угла \(AOB\) и образует с прямой \(OA\) угол \(30^\circ\).
Прямая \(m\) не перпендикулярна плоскости \(AOB\), так как \(\angle DOA \ne 90^\circ\). Она и не лежит в этой плоскости: иначе она совпала бы со своей проекцией, содержала бы биссектрису угла \(AOB\), и угол \(DOA\) был бы равен \(30^\circ\) или \(150^\circ\), а он равен \(60^\circ\). Пусть \(DK\) — перпендикуляр к плоскости \(AOB\). Тогда прямая \(OK\) — проекция прямой \(m\) на плоскость \(AOB\), а угол \(\varphi\) между прямой \(m\) и этой плоскостью — острый угол \(DOK\) прямоугольного треугольника \(DKO\).
Если прямая образует с плоскостью угол \(\varphi\), где \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\), а прямая \(b\), лежащая в этой плоскости, образует с проекцией данной прямой на плоскость угол \(\beta\), то угол \(\gamma\) между данной прямой и прямой \(b\) удовлетворяет равенству \(\cos \gamma = \cos \varphi \cos \beta\). Прямая \(OA\) лежит в плоскости \(AOB\), образует с прямой \(m\) угол \(60^\circ\), а с её проекцией \(OK\) — угол \(30^\circ\), поэтому \[\begin{aligned} \cos \varphi \cdot \cos 30^\circ &= \cos 60^\circ; \qquad | : \cos 30^\circ \\ \cos \varphi &= \frac{\cos 60^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: косинус угла между прямой и плоскостью данного угла равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).
