Страница 149 номер 13.6, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Пусть прямая \(a\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(35^\circ\). Поскольку \(0^\circ < 35^\circ < 90^\circ\), прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в некоторой точке \(B\) и не перпендикулярна ей. Пусть \(A\) — точка прямой \(a\), отличная от \(B\), а \(A_1\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(\alpha\). Тогда прямая \(BA_1\) — проекция прямой \(a\) на плоскость \(\alpha\) и \(\angle ABA_1 = 35^\circ\).

1) Прямая \(a\) не перпендикулярна плоскости \(\alpha\), поэтому она образует с плоскостью угол, который не больше любого угла между этой прямой и прямой, лежащей в данной плоскости. Значит, угол \(\gamma\) между прямой \(a\) и любой прямой \(b\) плоскости \(\alpha\) удовлетворяет неравенству \(\gamma \geqslant 35^\circ\). Поскольку \(30^\circ < 35^\circ\), угол \(30^\circ\) прямая \(a\) ни с одной прямой плоскости \(\alpha\) не образует.

2) Если прямая образует с плоскостью угол \(\varphi\), где \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\), а прямая \(b\), лежащая в этой плоскости, образует с проекцией данной прямой на плоскость угол \(\beta\), то угол \(\gamma\) между данной прямой и прямой \(b\) удовлетворяет равенству \(\cos \gamma = \cos \varphi \cos \beta\).

Поскольку \(35^\circ < 50^\circ\), то с учётом свойств косинуса углов от \(0^\circ\) до \(90^\circ\) получаем: \(0 < \cos 50^\circ < \cos 35^\circ\), откуда \(0 < \frac{\cos 50^\circ}{\cos 35^\circ} < 1\). Значит, существует острый угол \(\beta\), для которого \(\cos \beta = \frac{\cos 50^\circ}{\cos 35^\circ}\). Проведём в плоскости \(\alpha\) через точку \(B\) прямую \(b\), образующую с прямой \(BA_1\) угол \(\beta\). Для угла \(\gamma\) между прямыми \(a\) и \(b\) получаем: \(\cos \gamma = \cos 35^\circ \cdot \cos \beta = \cos 35^\circ \cdot \frac{\cos 50^\circ}{\cos 35^\circ} = \cos 50^\circ\). Углы \(\gamma\) и \(50^\circ\) лежат в промежутке от \(0^\circ\) до \(90^\circ\) и имеют равные косинусы, поэтому \(\gamma = 50^\circ\).

Ответ: 1) угол \(30^\circ\) данная прямая ни с одной прямой этой плоскости не образует; 2) угол \(50^\circ\) — может образовать.