Страница 151 номер 13.26, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(BA\), \(BC\) — наклонные к плоскости \(\beta\)
\(BA = BC\)
угол \(ABC\) между наклонными равен \(90^\circ\)
угол между проекциями наклонных на плоскость \(\beta\) равен \(120^\circ\)

Найти: косинус угла между наклонными и плоскостью \(\beta\).

Решение: Пусть \(BO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(B\) на плоскость \(\beta\). Тогда отрезки \(OA\) и \(OC\) — проекции наклонных \(BA\) и \(BC\), и угол \(AOC\) между проекциями \(OA\) и \(OC\) равен \(120^\circ\). Поскольку \(BO \perp \beta\), то \(\angle BOA = \angle BOC = 90^\circ\). Острые углы \(BAO\) и \(BCO\) прямоугольных треугольников \(BOA\) и \(BOC\) равны углам между наклонными \(BA\), \(BC\) и их проекциями, то есть углам между прямыми \(BA\), \(BC\) и плоскостью \(\beta\). Равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы: \(\angle BAO = \angle BCO\). Обозначим этот угол \(\varphi\).

Пусть \(BA = BC = a\). Из прямоугольного треугольника \(ABC\) получаем: \(AC = \sqrt{BA^2 + BC^2} = a\sqrt{2}\). Равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, имеют равные проекции, поэтому \(OA = OC\). По теореме косинусов из треугольника \(AOC\): \[AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos 120^\circ = OA^2 + OA^2 + OA^2 = 3OA^2.\]

Значит, \(OA = \frac{AC}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}\).

Из прямоугольного треугольника \(BOA\): \[\cos \varphi = \frac{OA}{BA} = \frac{a\sqrt{6}}{3a} = \frac{\sqrt{6}}{3}.\]

Ответ: косинус угла между каждой из наклонных и плоскостью \(\beta\) равен \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).