Страница 150 номер 13.13, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Из точки \(D\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(DA\) и \(DB\), образующие с данной плоскостью углы, равные \(30^\circ\). Угол между проекциями данных наклонных на плоскость \(\alpha\) равен \(120^\circ\). Найдите расстояние между основаниями наклонных, если \(DA = 2\) см.
Дано:
\(DA\), \(DB\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
углы между прямыми \(DA\), \(DB\) и плоскостью \(\alpha\) равны \(30^\circ\)
угол между проекциями наклонных \(DA\) и \(DB\) на плоскость \(\alpha\) равен \(120^\circ\)
\(DA = 2\) см
Найти: расстояние \(AB\) между основаниями наклонных.
Решение: Пусть \(DO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на плоскость \(\alpha\). Тогда отрезки \(OA\) и \(OB\) — проекции наклонных \(DA\) и \(DB\), и угол \(AOB\) между проекциями \(OA\) и \(OB\) равен \(120^\circ\). Поскольку \(DO \perp \alpha\), то \(\angle DOA = \angle DOB = 90^\circ\). Острые углы \(DAO\) и \(DBO\) прямоугольных треугольников \(DOA\) и \(DOB\) равны углам между наклонными \(DA\), \(DB\) и их проекциями, то есть углам между прямыми \(DA\), \(DB\) и плоскостью \(\alpha\): \(\angle DAO = \angle DBO = 30^\circ\).
Наклонные \(DA\) и \(DB\), проведённые из одной точки, образуют с плоскостью \(\alpha\) равные углы, поэтому их проекции равны: \(OB = OA\). Из прямоугольного треугольника \(DOA\) получаем: \[OA = DA \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ (см)}.\]
По теореме косинусов из треугольника \(AOB\): \[\begin{aligned} &AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ = {} \\ &= 3 + 3 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 9. \end{aligned}\]
Значит, \(AB = 3\) см.
Ответ: 3 см.
Из точки \(D\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(DA\) и \(DB\), образующие с данной плоскостью углы, равные \(30^\circ\). Угол между проекциями данных наклонных на плоскость \(\alpha\) равен \(120^\circ\). Найдите расстояние между основаниями наклонных, если \(DA = 2\) см.
Дано:
\(DA\), \(DB\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
углы между прямыми \(DA\), \(DB\) и плоскостью \(\alpha\) равны \(30^\circ\)
угол между проекциями наклонных \(DA\) и \(DB\) на плоскость \(\alpha\) равен \(120^\circ\)
\(DA = 2\) см
Найти: расстояние \(AB\) между основаниями наклонных.
Решение: Пусть \(DO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на плоскость \(\alpha\). Тогда отрезки \(OA\) и \(OB\) — проекции наклонных \(DA\) и \(DB\), и угол \(AOB\) между проекциями \(OA\) и \(OB\) равен \(120^\circ\). Поскольку \(DO \perp \alpha\), то \(\angle DOA = \angle DOB = 90^\circ\). Острые углы \(DAO\) и \(DBO\) прямоугольных треугольников \(DOA\) и \(DOB\) равны углам между наклонными \(DA\), \(DB\) и их проекциями, то есть углам между прямыми \(DA\), \(DB\) и плоскостью \(\alpha\): \(\angle DAO = \angle DBO = 30^\circ\).
Наклонные \(DA\) и \(DB\), проведённые из одной точки, образуют с плоскостью \(\alpha\) равные углы, поэтому их проекции равны: \(OB = OA\). Из прямоугольного треугольника \(DOA\) получаем: \[OA = DA \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ (см)}.\]
Значит, \(OB = OA = \sqrt{3}\) см.
По теореме косинусов из треугольника \(AOB\): \[\begin{aligned} &AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ = {} \\ &= 3 + 3 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 9. \end{aligned}\]
Значит, \(AB = 3\) см.
Ответ: 3 см.
