Страницы 144-145 номер 12.34, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Ребро \(DC\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\). Точка \(M\) — середина ребра \(AD\). На отрезках \(DC\) и \(BM\) отметили соответственно точки \(E\) и \(P\) так, что отрезок \(EP\) — общий перпендикуляр прямых \(DC\) и \(BM\). Найдите отношение \(MP : PB\), если \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle BAC = 30^\circ\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(DC \perp ABC\)
\(AM = MD\)
\(E \in DC\), \(P \in BM\)
\(EP\) — общий перпендикуляр прямых \(DC\) и \(BM\)
\(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle BAC = 30^\circ\)
Найти: \(MP : PB\).
Решение: Отрезок \(EP\) — общий перпендикуляр прямых \(DC\) и \(BM\), поэтому \(EP \perp DC\) и \(EP \perp BM\). Пусть \(N\) — середина ребра \(AC\). Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(ADC\), поэтому \(MN \parallel DC\), и по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(MN \perp ABC\).
Поскольку \(EP \perp DC\) и \(MN \parallel DC\), то из определения угла между двумя прямыми следует, что \(EP \perp MN\). Прямая \(EP\) перпендикулярна двум прямым \(MN\) и \(BM\) плоскости \(BMN\), пересекающимся в точке \(M\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(EP \perp BMN\).
Через точку \(P\) проведём в плоскости \(BMN\) прямую, параллельную \(MN\); она пересекает прямую \(BN\) в точке \(Q\), и по той же теореме о двух параллельных прямых \(PQ \perp ABC\).
Прямые \(DC\) и \(PQ\) различны (точка \(Q\) лежит на прямой \(BN\), а точка \(C\) — нет) и перпендикулярны плоскости \(ABC\), поэтому они параллельны, и точки \(C\), \(E\), \(P\), \(Q\) лежат в одной плоскости. В этой плоскости прямые \(EP\) и \(CQ\) перпендикулярны прямой \(DC\) (прямая \(CQ\) лежит в плоскости \(ABC\), а \(DC \perp ABC\)), поэтому \(EP \parallel CQ\). Прямая \(EP\) перпендикулярна плоскости \(BMN\), значит, по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(CQ \perp BMN\), и \(CQ \perp BN\).
Значит, \(CQ\) — высота прямоугольного треугольника \(BCN\) (\(\angle BCN = 90^\circ\)), проведённая к гипотенузе \(BN\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(BC\) лежит против угла \(30^\circ\); пусть \(BC = a\), тогда \(AB = 2a\), \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = a\sqrt{3}\) и \(CN = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Каждый катет прямоугольного треугольника \(BCN\) — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу: \(CN^2 = NQ \cdot BN\), \(CB^2 = QB \cdot BN\), поэтому \[NQ : QB = CN^2 : CB^2 = \frac{3a^2}{4} : a^2 = 3 : 4.\]
В плоскости \(BMN\) прямая \(PQ\) параллельна прямой \(MN\), поэтому по теореме о пропорциональных отрезках \(MP : PB = NQ : QB = 3 : 4\).
Ответ: \(3 : 4\).
Ребро \(DC\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\). Точка \(M\) — середина ребра \(AD\). На отрезках \(DC\) и \(BM\) отметили соответственно точки \(E\) и \(P\) так, что отрезок \(EP\) — общий перпендикуляр прямых \(DC\) и \(BM\). Найдите отношение \(MP : PB\), если \(\angle ACB = 90^\circ\) и \(\angle BAC = 30^\circ\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(DC \perp ABC\)
\(AM = MD\)
\(E \in DC\), \(P \in BM\)
\(EP\) — общий перпендикуляр прямых \(DC\) и \(BM\)
\(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle BAC = 30^\circ\)
Найти: \(MP : PB\).
Решение: Отрезок \(EP\) — общий перпендикуляр прямых \(DC\) и \(BM\), поэтому \(EP \perp DC\) и \(EP \perp BM\). Пусть \(N\) — середина ребра \(AC\). Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(ADC\), поэтому \(MN \parallel DC\), и по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(MN \perp ABC\). Значит, \(N\) — проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC\).
Поскольку \(EP \perp DC\) и \(MN \parallel DC\), то из определения угла между двумя прямыми следует, что \(EP \perp MN\). Прямая \(EP\) перпендикулярна двум прямым \(MN\) и \(BM\) плоскости \(BMN\), пересекающимся в точке \(M\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(EP \perp BMN\).
Через точку \(P\) проведём в плоскости \(BMN\) прямую, параллельную \(MN\); она пересекает прямую \(BN\) в точке \(Q\), и по той же теореме о двух параллельных прямых \(PQ \perp ABC\). Значит, \(Q\) — проекция точки \(P\) на плоскость \(ABC\), а точка \(C\) — проекция точки \(E\).
Прямые \(DC\) и \(PQ\) различны (точка \(Q\) лежит на прямой \(BN\), а точка \(C\) — нет) и перпендикулярны плоскости \(ABC\), поэтому они параллельны, и точки \(C\), \(E\), \(P\), \(Q\) лежат в одной плоскости. В этой плоскости прямые \(EP\) и \(CQ\) перпендикулярны прямой \(DC\) (прямая \(CQ\) лежит в плоскости \(ABC\), а \(DC \perp ABC\)), поэтому \(EP \parallel CQ\). Прямая \(EP\) перпендикулярна плоскости \(BMN\), значит, по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(CQ \perp BMN\), и \(CQ \perp BN\).
Значит, \(CQ\) — высота прямоугольного треугольника \(BCN\) (\(\angle BCN = 90^\circ\)), проведённая к гипотенузе \(BN\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(BC\) лежит против угла \(30^\circ\); пусть \(BC = a\), тогда \(AB = 2a\), \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = a\sqrt{3}\) и \(CN = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Каждый катет прямоугольного треугольника \(BCN\) — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу: \(CN^2 = NQ \cdot BN\), \(CB^2 = QB \cdot BN\), поэтому \[NQ : QB = CN^2 : CB^2 = \frac{3a^2}{4} : a^2 = 3 : 4.\]
В плоскости \(BMN\) прямая \(PQ\) параллельна прямой \(MN\), поэтому по теореме о пропорциональных отрезках \(MP : PB = NQ : QB = 3 : 4\).
Ответ: \(3 : 4\).
