Страница 150 номер 13.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Из точки \(B\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(BA\) и \(BC\), образующие с данной плоскостью углы, равные \(45^\circ\). Расстояние между основаниями наклонных равно 16 см. Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), если угол между наклонными равен \(60^\circ\).
Дано:
\(BA\), \(BC\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
углы между прямыми \(BA\), \(BC\) и плоскостью \(\alpha\) равны \(45^\circ\)
\(AC = 16\) см
угол \(ABC\) между наклонными равен \(60^\circ\)
Найти: расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\).
Решение: Пусть \(BO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\); его длина — искомое расстояние. Отрезки \(OA\) и \(OC\) — проекции наклонных \(BA\) и \(BC\). Поскольку \(BO \perp \alpha\), то \(\angle BOA = \angle BOC = 90^\circ\). Острые углы \(BAO\) и \(BCO\) прямоугольных треугольников \(BOA\) и \(BOC\) равны углам между наклонными \(BA\), \(BC\) и их проекциями, то есть углам между прямыми \(BA\), \(BC\) и плоскостью \(\alpha\): \(\angle BAO = \angle BCO = 45^\circ\).
Прямоугольные треугольники \(BOA\) и \(BOC\) равны по катету и противолежащему острому углу (катет \(BO\) — общий), поэтому \(BA = BC\). Треугольник \(ABC\) — равнобедренный с углом \(60^\circ\) при вершине \(B\), значит, он равносторонний: \(BA = AC = 16\) см.
Из прямоугольного треугольника \(BOA\) получаем: \[BO = BA \cdot \sin 45^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(8\sqrt{2}\) см.
