Страница 152 номер 13.40, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Перпендикулярные прямые \(a\) и \(b\) лежат в плоскости \(\pi\), поэтому они пересекаются; пусть \(O\) — точка их пересечения. Заметим: если прямая \(l\) плоскости \(\pi\) образует с прямой \(a\) угол \(\varphi\), то с прямой \(b\) она образует угол \(90^\circ - \varphi\). Действительно, прямая \(l_1\), проходящая через точку \(O\) параллельно прямой \(l\) (или совпадающая с \(l\), если \(l\) проходит через \(O\)), лежит в плоскости \(\pi\) и образует с прямыми \(a\) и \(b\) те же углы, что и прямая \(l\). Если \(l_1\) совпадает с \(a\) или с \(b\), то эти углы равны \(0^\circ\) и \(90^\circ\). Иначе один из лучей прямой \(l_1\) с началом \(O\) лежит внутри прямого угла, образованного лучами прямых \(a\) и \(b\), и делит его на два острых угла — углы прямой \(l_1\) с прямыми \(a\) и \(b\), сумма которых равна \(90^\circ\).

Если \(m \perp \pi\), то \(\gamma = 90^\circ\). Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости, поэтому \(\alpha = \beta = 90^\circ\), и \(\cos^2 \gamma = 0 = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta\).

Если прямая \(m\) параллельна плоскости \(\pi\) или лежит в ней, то \(\gamma = 0^\circ\). Пусть \(m_1 = m\), если \(m\) лежит в плоскости \(\pi\); если же \(m \parallel \pi\), то плоскость, проходящая через прямую \(m\) и точку \(O\), пересекает плоскость \(\pi\) по прямой \(m_1\), параллельной прямой \(m\). Прямая \(m_1\) лежит в плоскости \(\pi\) и образует с прямыми \(a\) и \(b\) те же углы \(\alpha\) и \(\beta\), что и прямая \(m\), поэтому \(\beta = 90^\circ - \alpha\). Тогда \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 = \cos^2 \gamma\).

Пусть \(0^\circ < \gamma < 90^\circ\), то есть прямая \(m\) пересекает плоскость \(\pi\) в некоторой точке \(B\) и не перпендикулярна ей. Возьмём на прямой \(m\) точку \(A\), отличную от \(B\), и пусть \(A_1\) — её проекция на плоскость \(\pi\); точка \(A_1\) отлична от \(B\), так как прямая \(m\) не перпендикулярна плоскости \(\pi\). Прямая \(n = BA_1\) — проекция прямой \(m\) на плоскость \(\pi\), и угол между прямыми \(m\) и \(n\) равен \(\gamma\). Пусть прямая \(n\) образует с прямой \(a\) угол \(\varphi\); тогда с прямой \(b\) она образует угол \(90^\circ - \varphi\).

Если прямая образует с плоскостью угол \(\gamma\), где \(0^\circ < \gamma < 90^\circ\), а прямая, лежащая в этой плоскости, образует с проекцией первой прямой на плоскость угол \(\varphi\), то косинус угла между этими двумя прямыми равен \(\cos \gamma \cos \varphi\). Прямые \(a\) и \(b\) лежат в плоскости \(\pi\) и образуют с проекцией \(n\) углы \(\varphi\) и \(90^\circ - \varphi\), а с прямой \(m\) — углы \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому \[\begin{aligned} \cos \alpha &= \cos \gamma \cos \varphi; \\ \cos \beta &= \cos \gamma \cos (90^\circ - \varphi) = \cos \gamma \sin \varphi. \end{aligned}\]

Следовательно, \[\begin{aligned} &\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = \cos^2 \gamma \cos^2 \varphi + \cos^2 \gamma \sin^2 \varphi = {} \\ &= \cos^2 \gamma (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) = \cos^2 \gamma. \end{aligned}\]

Равенство \(\cos^2 \gamma = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta\) выполняется во всех случаях.

Ответ: если прямая образует с плоскостью угол \(\gamma\), а с двумя перпендикулярными прямыми этой плоскости — углы \(\alpha\) и \(\beta\), то \(\cos^2 \gamma = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta\).