Страница 144 номер 12.33, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На ребре \(AA_1\) и диагонали \(B_1D\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(K\) и \(M\) так, что отрезок \(KM\) — общий перпендикуляр прямых \(AA_1\) и \(B_1D\). Найдите отношение \(B_1M : MD\), если \(AB : AD = 1 : 2\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(K \in AA_1\), \(M \in B_1D\)
\(KM\) — общий перпендикуляр прямых \(AA_1\) и \(B_1D\)
\(AB : AD = 1 : 2\)
Найти: \(B_1M : MD\).
Решение: Отрезок \(KM\) — общий перпендикуляр прямых \(AA_1\) и \(B_1D\), поэтому \(KM \perp AA_1\) и \(KM \perp B_1D\). Грань \(AA_1B_1B\) — прямоугольник, поэтому \(BB_1 \parallel AA_1\), и из определения угла между двумя прямыми следует, что \(KM \perp BB_1\). Прямая \(KM\) перпендикулярна двум прямым \(BB_1\) и \(B_1D\) плоскости \(BB_1D\), пересекающимся в точке \(B_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(KM \perp BB_1D\).
Ребро \(BB_1\) перпендикулярно рёбрам \(AB\) и \(BC\) (грани \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) — прямоугольники), которые пересекаются в точке \(B\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BB_1 \perp ABC\); так же \(AA_1 \perp ABC\). Через точку \(M\) проведём в плоскости \(BB_1D\) прямую, параллельную \(BB_1\); она пересекает прямую \(BD\) в точке \(P\), и по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(MP \perp ABC\).
Прямые \(AA_1\) и \(PM\) различны (точка \(P\) лежит на прямой \(BD\), а точка \(A\) — нет) и перпендикулярны плоскости \(ABC\), поэтому они параллельны, и точки \(A\), \(K\), \(M\), \(P\) лежат в одной плоскости. В этой плоскости прямые \(KM\) и \(AP\) перпендикулярны прямой \(AA_1\) (прямая \(AP\) лежит в плоскости \(ABC\), а \(AA_1 \perp ABC\)), поэтому \(KM \parallel AP\). Прямая \(KM\) перпендикулярна плоскости \(BB_1D\), значит, по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(AP \perp BB_1D\), и \(AP \perp BD\).
Значит, \(AP\) — высота прямоугольного треугольника \(ABD\) (\(\angle BAD = 90^\circ\)), проведённая к гипотенузе \(BD\).
Пусть \(AB = a\), тогда \(AD = 2a\). Каждый катет прямоугольного треугольника — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу: \(AB^2 = BP \cdot BD\), \(AD^2 = PD \cdot BD\), поэтому \[BP : PD = AB^2 : AD^2 = a^2 : 4a^2 = 1 : 4.\]
В плоскости \(BB_1D\) прямая \(PM\) параллельна прямой \(BB_1\), поэтому по теореме о пропорциональных отрезках \(B_1M : MD = BP : PD = 1 : 4\).
Ответ: \(1 : 4\).
На ребре \(AA_1\) и диагонали \(B_1D\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(K\) и \(M\) так, что отрезок \(KM\) — общий перпендикуляр прямых \(AA_1\) и \(B_1D\). Найдите отношение \(B_1M : MD\), если \(AB : AD = 1 : 2\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(K \in AA_1\), \(M \in B_1D\)
\(KM\) — общий перпендикуляр прямых \(AA_1\) и \(B_1D\)
\(AB : AD = 1 : 2\)
Найти: \(B_1M : MD\).
Решение: Отрезок \(KM\) — общий перпендикуляр прямых \(AA_1\) и \(B_1D\), поэтому \(KM \perp AA_1\) и \(KM \perp B_1D\). Грань \(AA_1B_1B\) — прямоугольник, поэтому \(BB_1 \parallel AA_1\), и из определения угла между двумя прямыми следует, что \(KM \perp BB_1\). Прямая \(KM\) перпендикулярна двум прямым \(BB_1\) и \(B_1D\) плоскости \(BB_1D\), пересекающимся в точке \(B_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(KM \perp BB_1D\).
Ребро \(BB_1\) перпендикулярно рёбрам \(AB\) и \(BC\) (грани \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) — прямоугольники), которые пересекаются в точке \(B\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BB_1 \perp ABC\); так же \(AA_1 \perp ABC\). Через точку \(M\) проведём в плоскости \(BB_1D\) прямую, параллельную \(BB_1\); она пересекает прямую \(BD\) в точке \(P\), и по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(MP \perp ABC\). Значит, \(P\) — проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC\), а точка \(A\) — проекция точки \(K\).
Прямые \(AA_1\) и \(PM\) различны (точка \(P\) лежит на прямой \(BD\), а точка \(A\) — нет) и перпендикулярны плоскости \(ABC\), поэтому они параллельны, и точки \(A\), \(K\), \(M\), \(P\) лежат в одной плоскости. В этой плоскости прямые \(KM\) и \(AP\) перпендикулярны прямой \(AA_1\) (прямая \(AP\) лежит в плоскости \(ABC\), а \(AA_1 \perp ABC\)), поэтому \(KM \parallel AP\). Прямая \(KM\) перпендикулярна плоскости \(BB_1D\), значит, по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(AP \perp BB_1D\), и \(AP \perp BD\).
Значит, \(AP\) — высота прямоугольного треугольника \(ABD\) (\(\angle BAD = 90^\circ\)), проведённая к гипотенузе \(BD\).
Пусть \(AB = a\), тогда \(AD = 2a\). Каждый катет прямоугольного треугольника — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу: \(AB^2 = BP \cdot BD\), \(AD^2 = PD \cdot BD\), поэтому \[BP : PD = AB^2 : AD^2 = a^2 : 4a^2 = 1 : 4.\]
В плоскости \(BB_1D\) прямая \(PM\) параллельна прямой \(BB_1\), поэтому по теореме о пропорциональных отрезках \(B_1M : MD = BP : PD = 1 : 4\).
Ответ: \(1 : 4\).
