Страница 144 номер 12.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(AC\) равны 13 см, сторона \(BC\) — 10 см. Точка \(K\) удалена от плоскости \(ABC\) на 8 см, а от вершины \(A\) — на 10 см. Известно, что прямые \(AK\) и \(BC\) перпендикулярны. Найдите расстояние от точки \(K\) до прямой \(BC\).
Дано:
\(AB = AC = 13\) см
\(BC = 10\) см
расстояние от точки \(K\) до плоскости \(ABC\) равно 8 см
\(KA = 10\) см
\(KA \perp BC\)
Найти: расстояние от точки \(K\) до прямой \(BC\).
Решение: Пусть \(O\) — проекция точки \(K\) на плоскость \(ABC\); длина перпендикуляра \(KO\) — расстояние от точки \(K\) до этой плоскости, т. е. \(KO = 8\) см. Точка \(O\) отлична от точки \(A\) (иначе было бы \(KA = KO = 8\) см), поэтому \(KA\) — наклонная, а \(OA\) — её проекция. Поскольку \(KO \perp ABC\), то \(\angle KOA = 90^\circ\) и \[OA = \sqrt{KA^2 - KO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6 \text{ (см)}.\]
Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна наклонной \(KA\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и проекции этой наклонной: \(BC \perp OA\).
Пусть \(AH\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к основанию \(BC\); она является и медианой, поэтому \(BH = 5\) см и \(AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\) (см). В плоскости \(ABC\) через точку \(A\) проходит только одна прямая, перпендикулярная прямой \(BC\), — прямая \(AH\), поэтому точка \(O\) лежит на прямой \(AH\). Точка \(O\) не совпадает с точкой \(H\) (\(OA = 6\) см, а \(AH = 12\) см), значит, \(OH \perp BC\).
Отрезок \(OH\) является проекцией наклонной \(KH\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(OH\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(BC \perp KH\). Значит, длина отрезка \(KH\) — расстояние от точки \(K\) до прямой \(BC\), и из прямоугольного треугольника \(KOH\) (\(\angle KOH = 90^\circ\)) получаем, что \(KH = \sqrt{KO^2 + OH^2}\). На прямой \(AH\) две точки удалены от точки \(A\) на 6 см, поэтому возможны два случая.
Если точка \(O\) лежит на отрезке \(AH\), то \(OH = AH - OA = 12 - 6 = 6\) (см) и \(KH = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\) (см).
Если точка \(O\) лежит на продолжении отрезка \(HA\) за точку \(A\), то \(OH = AH + OA = 12 + 6 = 18\) (см) и \(KH = \sqrt{8^2 + 18^2} = \sqrt{388} = 2\sqrt{97}\) (см).
Ответ: 10 см, если проекция точки \(K\) на плоскость \(ABC\) лежит на высоте \(AH\) треугольника, или \(2\sqrt{97}\) см, если она лежит на продолжении этой высоты за точку \(A\).
