Страница 149 номер 13.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.
Пусть \(MA\) и \(MB\) — равные наклонные, проведённые из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\), \(MO\) — перпендикуляр к этой плоскости. Тогда отрезки \(OA\) и \(OB\) — проекции наклонных \(MA\) и \(MB\) на плоскость \(\alpha\).
Поскольку \(MO \perp \alpha\), то \(MO \perp OA\) и \(MO \perp OB\), то есть треугольники \(MOA\) и \(MOB\) — прямоугольные с прямым углом \(O\). Они равны по гипотенузе и катету: \(MA = MB\) по условию, катет \(MO\) — общий. Значит, \(\angle MAO = \angle MBO\).
Поскольку угол \(MAO\) острый, то он равен углу между прямыми \(OA\) и \(MA\), то есть углу между наклонной \(MA\) и плоскостью \(\alpha\). Аналогично угол \(MBO\) равен углу между наклонной \(MB\) и плоскостью \(\alpha\). Следовательно, наклонные \(MA\) и \(MB\) образуют с плоскостью \(\alpha\) равные углы.
Ответ: равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.
Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.
Пусть \(MA\) и \(MB\) — равные наклонные, проведённые из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\), \(MO\) — перпендикуляр к этой плоскости. Тогда отрезки \(OA\) и \(OB\) — проекции наклонных \(MA\) и \(MB\) на плоскость \(\alpha\).
Поскольку \(MO \perp \alpha\), то \(MO \perp OA\) и \(MO \perp OB\), то есть треугольники \(MOA\) и \(MOB\) — прямоугольные с прямым углом \(O\). Они равны по гипотенузе и катету: \(MA = MB\) по условию, катет \(MO\) — общий. Значит, \(\angle MAO = \angle MBO\).
Прямая \(OA\) является проекцией прямой \(MA\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку угол \(MAO\) острый, то он равен углу между прямыми \(OA\) и \(MA\), то есть углу между наклонной \(MA\) и плоскостью \(\alpha\). Аналогично угол \(MBO\) равен углу между наклонной \(MB\) и плоскостью \(\alpha\). Следовательно, наклонные \(MA\) и \(MB\) образуют с плоскостью \(\alpha\) равные углы.
Ответ: равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.
