Страница 149 номер 13.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(AO\) — перпендикуляр к плоскости \(\alpha\)
\(AB\) — наклонная к плоскости \(\alpha\)
1) расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(OB\)
2) расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(\frac{1}{2}AB\)

Найти: угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\).

Решение: Точка \(O\) — основание перпендикуляра, поэтому отрезок \(OB\) — проекция наклонной \(AB\) на плоскость \(\alpha\), а расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(AO\). Поскольку \(AO \perp \alpha\), то \(AO \perp OB\) и треугольник \(AOB\) — прямоугольный с прямым углом \(O\). Его угол \(ABO\) острый, поэтому он равен углу между наклонной \(AB\) и её проекцией \(OB\), то есть углу между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\).

1) По условию \(AO = OB\), поэтому прямоугольный треугольник \(AOB\) — равнобедренный и \(\angle ABO = 45^\circ\).

2) По условию \(AO = \frac{1}{2}AB\), поэтому \(\sin \angle ABO = \frac{AO}{AB} = \frac{1}{2}\). Угол \(ABO\) острый, значит, \(\angle ABO = 30^\circ\).

Ответ: наклонная образует с плоскостью \(\alpha\) угол: 1) \(45^\circ\); 2) \(30^\circ\).