Страница 151 номер 13.24, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — квадрат
\(MB \perp ABC\)
\(MB = AB\)

Найти: 1) угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMD\); 2) угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(BMD\).

Решение: Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\). Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому \(AO \perp BD\). Поскольку \(MB \perp ABC\), а прямая \(AO\) лежит в плоскости \(ABC\), то \(AO \perp MB\). Прямая \(AO\) перпендикулярна двум прямым \(BD\) и \(MB\) плоскости \(BMD\), пересекающимся в точке \(B\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AO \perp BMD\). Значит, точка \(O\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(BMD\).

1) Точка \(B\) лежит в плоскости \(BMD\), поэтому прямая \(BO\) — проекция прямой \(AB\) на эту плоскость. Диагональ \(BD\) делит прямой угол \(ABC\) квадрата пополам, поэтому \(\angle ABO = 45^\circ\). Угол \(ABO\) острый, поэтому он равен углу между прямыми \(AB\) и \(BO\), то есть углу между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMD\).

2) Прямая \(MO\) — проекция прямой \(AM\) на плоскость \(BMD\). Поскольку \(AO \perp BMD\), а прямая \(MO\) лежит в плоскости \(BMD\), то \(AO \perp MO\), и угол \(AMO\) — острый угол прямоугольного треугольника \(AOM\); он равен углу между прямой \(AM\) и плоскостью \(BMD\).

Пусть \(AB = a\), тогда \(MB = a\). Поскольку \(MB \perp ABC\), то \(MB \perp AB\), и из прямоугольного треугольника \(ABM\) получаем: \(AM = \sqrt{AB^2 + MB^2} = a\sqrt{2}\). Диагональ квадрата \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = a\sqrt{2}\), а диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(AOM\): \[\sin \angle AMO = \frac{AO}{AM} = \frac{a\sqrt{2}}{2 \cdot a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}.\]

Угол \(AMO\) острый, значит, \(\angle AMO = 30^\circ\).

Ответ: 1) прямая \(AB\) образует с плоскостью \(BMD\) угол \(45^\circ\); 2) прямая \(AM\) образует с плоскостью \(BMD\) угол \(30^\circ\).