Страница 150 номер 13.11, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(MB\) — перпендикуляр к плоскости \(\alpha\)
\(MA\), \(MC\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
\(MA = 5\sqrt{2}\) см
\(MC = 10\) см
угол между прямой \(MA\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(45^\circ\)

Найти: угол между прямой \(MC\) и плоскостью \(\alpha\).

Решение: Точка \(B\) — основание перпендикуляра, поэтому отрезки \(BA\) и \(BC\) — проекции наклонных \(MA\) и \(MC\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку \(MB \perp \alpha\), то \(\angle MBA = \angle MBC = 90^\circ\).

Угол \(MAB\) прямоугольного треугольника \(MBA\) острый, поэтому он равен углу между прямой \(MA\) и её проекцией \(BA\), то есть углу между прямой \(MA\) и плоскостью \(\alpha\): \(\angle MAB = 45^\circ\). Из \(\triangle MBA\) получаем: \[MB = MA \cdot \sin 45^\circ = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \text{ (см)}.\]

Аналогично острый угол \(MCB\) прямоугольного треугольника \(MBC\) равен углу между прямой \(MC\) и плоскостью \(\alpha\). Из \(\triangle MBC\) получаем: \[\sin \angle MCB = \frac{MB}{MC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.\]

Угол \(MCB\) острый, значит, \(\angle MCB = 30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\).