Страница 152 номер 13.36, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(B_1D = 2AD_1 = 4AA_1\)

Найти: косинус угла между прямыми \(AD_1\) и \(B_1D\).

Решение: Пусть \(AA_1 = x\); тогда \(AD_1 = 2x\), \(B_1D = 4x\). Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, поэтому \(A_1B_1 \perp A_1A\) и \(A_1B_1 \perp A_1D_1\); прямые \(A_1A\) и \(A_1D_1\) плоскости \(AA_1D_1\) пересекаются в точке \(A_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(A_1B_1 \perp AA_1D_1\). Значит, прямая \(A_1D\) — проекция прямой \(B_1D\) на плоскость \(AA_1D_1\) (точка \(D\) лежит в этой плоскости), \(A_1B_1 \perp A_1D\), и острый угол \(B_1DA_1\) прямоугольного треугольника \(B_1A_1D\) равен углу \(\alpha\) между прямой \(B_1D\) и плоскостью \(AA_1D_1\); \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).

Диагонали прямоугольника \(AA_1D_1D\) равны: \(A_1D = AD_1 = 2x\). Из прямоугольного треугольника \(B_1A_1D\): \[\cos \alpha = \frac{A_1D}{B_1D} = \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}.\]

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AD_1\) и \(A_1D\) прямоугольника \(AA_1D_1D\), \(\beta\) — угол между прямой \(AD_1\), лежащей в плоскости \(AA_1D_1\), и проекцией \(A_1D\). Из прямоугольного треугольника \(AA_1D_1\) (\(\angle AA_1D_1 = 90^\circ\)) получаем: \(\cos \angle A_1AD_1 = \frac{AA_1}{AD_1} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\), поэтому \(\angle A_1AO = 60^\circ\). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA = OA_1\). Треугольник \(AOA_1\) равнобедренный, и угол при его основании \(AA_1\) равен \(60^\circ\), значит, он равносторонний и \(\angle AOA_1 = 60^\circ\). Следовательно, \(\beta = 60^\circ\).

Если прямая образует с плоскостью угол \(\alpha\), где \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), а прямая, лежащая в этой плоскости, образует с проекцией первой прямой на плоскость угол \(\beta\), то угол \(\gamma\) между этими двумя прямыми удовлетворяет равенству \(\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta\). Прямая \(B_1D\) образует с плоскостью \(AA_1D_1\) угол \(\alpha\), а прямая \(AD_1\) лежит в этой плоскости и образует с проекцией \(A_1D\) угол \(\beta = 60^\circ\), поэтому для угла \(\gamma\) между прямыми \(AD_1\) и \(B_1D\) \[\cos \gamma = \cos \alpha \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.\]

Ответ: косинус угла между прямыми \(AD_1\) и \(B_1D\) равен \(\frac{1}{4}\).