Страница 151 номер 13.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\triangle ABC\)
\(AC \subset \alpha\)
угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(45^\circ\)
\(\angle BAC = 60^\circ\)

Найти: угол между прямой \(AC\) и проекцией стороны \(AB\) на плоскость \(\alpha\).

Решение: Прямая \(AB\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(45^\circ\), поэтому точка \(B\) не лежит в плоскости \(\alpha\). Пусть \(BO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\). Тогда отрезок \(AO\) — проекция стороны \(AB\) на плоскость \(\alpha\), и угол между прямой \(AB\) и её проекцией \(AO\) равен углу между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\), то есть \(45^\circ\). Угол \(BAC\) равен \(60^\circ\), поэтому угол между прямыми \(AB\) и \(AC\) тоже равен \(60^\circ\). Пусть \(\beta\) — угол между прямой \(AC\) и проекцией \(AO\).

Если прямая образует с плоскостью угол \(\varphi\), где \(0^\circ < \varphi < 90^\circ\), а прямая \(b\), лежащая в этой плоскости, образует с проекцией данной прямой на плоскость угол \(\beta\), то угол \(\gamma\) между данной прямой и прямой \(b\) удовлетворяет равенству \(\cos \gamma = \cos \varphi \cos \beta\). Прямая \(AB\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(45^\circ\), прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\) и образует с прямой \(AB\) угол \(60^\circ\), а с проекцией \(AO\) — угол \(\beta\), поэтому \[\begin{aligned} \cos 45^\circ \cdot \cos \beta &= \cos 60^\circ; \qquad | : \cos 45^\circ \\ \cos \beta &= \frac{\cos 60^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]

Поскольку \(0^\circ \leqslant \beta \leqslant 90^\circ\), то \(\beta = 45^\circ\).

Ответ: угол между стороной \(AC\) и проекцией стороны \(AB\) на плоскость \(\alpha\) равен \(45^\circ\).