Страница 152 номер 13.34, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(K\) — точка ребра \(BC\)
\(\angle BAK = 15^\circ\)

Найти: косинус угла между прямыми \(AK\) и \(B_1D\).

Решение: Пусть ребро куба равно \(a\). Все грани куба — квадраты, поэтому \(BB_1 \perp BA\) и \(BB_1 \perp BC\); прямые \(BA\) и \(BC\) плоскости \(ABC\) пересекаются в точке \(B\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BB_1 \perp ABC\). Значит, прямая \(BD\) — проекция прямой \(B_1D\) на плоскость \(ABC\), \(BB_1 \perp BD\), и острый угол \(B_1DB\) прямоугольного треугольника \(B_1BD\) равен углу \(\alpha\) между прямой \(B_1D\) и плоскостью \(ABC\); \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).

Из прямоугольных треугольников \(BAD\) и \(B_1BD\) получаем: \[\begin{aligned} BD &= \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}; \\ B_1D &= \sqrt{BB_1^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}; \\ \cos \alpha &= \frac{BD}{B_1D} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}. \end{aligned}\]

Пусть \(\beta\) — угол между прямой \(AK\), лежащей в плоскости \(ABC\), и проекцией \(BD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\). Диагонали квадрата перпендикулярны и делят его углы пополам, поэтому \(AO \perp BD\) и \(\angle BAC = 45^\circ\). Точка \(K\) лежит на стороне \(BC\), поэтому луч \(AK\) проходит между лучами \(AB\) и \(AC\), и \(\angle KAC = \angle BAC - \angle BAK = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ\). Луч \(AK\) проходит внутри угла \(BAD\) треугольника \(ABD\), поэтому он пересекает сторону \(BD\) в некоторой точке \(E\). В прямоугольном треугольнике \(AOE\) (\(\angle AOE = 90^\circ\)) угол \(OAE\) равен углу \(KAC\), то есть \(30^\circ\), поэтому \(\angle AEO = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\), и \(\beta = 60^\circ\).

Если прямая образует с плоскостью угол \(\alpha\), где \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), а прямая, лежащая в этой плоскости, образует с проекцией первой прямой на плоскость угол \(\beta\), то угол \(\gamma\) между этими двумя прямыми удовлетворяет равенству \(\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta\). Прямая \(B_1D\) образует с плоскостью \(ABC\) угол \(\alpha\), а прямая \(AK\) лежит в этой плоскости и образует с проекцией \(BD\) угол \(\beta = 60^\circ\), поэтому для угла \(\gamma\) между прямыми \(AK\) и \(B_1D\) \[\cos \gamma = \cos \alpha \cdot \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{6}.\]

Ответ: косинус угла между прямыми \(AK\) и \(B_1D\) равен \(\frac{\sqrt{6}}{6}\).