Страница 151 номер 13.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(AC = BC\)
\(\angle ACB = 90^\circ\)
\(AB = 10\) см
\(MC \perp ABC\)
расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) равно \(5\sqrt{3}\) см

Найти: угол между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\).

Решение: Пусть \(CK\) — высота треугольника \(ABC\). Точка \(C\) — основание перпендикуляра \(MC\), поэтому отрезок \(CK\) — проекция наклонной \(MK\) на плоскость \(ABC\). По построению \(CK \perp AB\), а прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(ABC\). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(MK \perp AB\), и длина отрезка \(MK\) — расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\): \(MK = 5\sqrt{3}\) см.

Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\), поэтому его высота \(CK\) является и медианой: \(AK = KB = 5\) см. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому \(CK = 5\) см. Из прямоугольного треугольника \(AKC\) получаем: \[AC = \sqrt{AK^2 + CK^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2} \text{ (см)}.\]

Поскольку \(MC \perp ABC\), а прямые \(CK\) и \(CA\) лежат в плоскости \(ABC\), то \(MC \perp CK\) и \(MC \perp CA\). Из прямоугольного треугольника \(MCK\) получаем: \[MC = \sqrt{MK^2 - CK^2} = \sqrt{75 - 25} = 5\sqrt{2} \text{ (см)}.\]

Прямая \(CA\) — проекция прямой \(MA\) на плоскость \(ABC\). Угол \(MAC\) — острый угол прямоугольного треугольника \(MCA\), поэтому он равен углу между прямой \(AM\) и её проекцией \(CA\), то есть углу между прямой \(AM\) и плоскостью \(ABC\). Катеты этого треугольника равны: \(MC = AC = 5\sqrt{2}\) см, значит, треугольник \(MCA\) равнобедренный и \(\angle MAC = 45^\circ\).

Ответ: прямая \(AM\) образует с плоскостью \(ABC\) угол \(45^\circ\).