Страницы 150-151 номер 13.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(PB \perp ABC\)
\(AB = BC\)
\(\angle ABC = 120^\circ\)
\(PA = 16\) см
угол между прямой \(PA\) и плоскостью \(ABC\) равен \(30^\circ\)

Найти: расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC\).

Решение: Отрезок \(BA\) — проекция наклонной \(PA\) на плоскость \(ABC\). Поскольку \(PB \perp ABC\), то \(\angle PBA = 90^\circ\), и острый угол \(PAB\) прямоугольного треугольника \(PBA\) равен углу между прямой \(PA\) и плоскостью \(ABC\): \(\angle PAB = 30^\circ\). Из \(\triangle PBA\) получаем: \[\begin{aligned} PB &= PA \cdot \sin 30^\circ = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \text{ (см)}; \\ AB &= PA \cdot \cos 30^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Проведём в плоскости \(ABC\) высоту \(BK\) равнобедренного треугольника \(ABC\). Отрезок \(BK\) — проекция наклонной \(PK\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(BK\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp PK\). Значит, длина отрезка \(PK\) — расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC\).

Высота \(BK\) равнобедренного треугольника \(ABC\) является и его биссектрисой, поэтому \(\angle ABK = 60^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(ABK\) получаем: \[BK = AB \cdot \cos 60^\circ = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3} \text{ (см)}.\]

Поскольку \(PB \perp ABC\), то \(\angle PBK = 90^\circ\), и \[\begin{aligned} &PK = \sqrt{PB^2 + BK^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{3})^2} = {} \\ &= \sqrt{64 + 48} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Ответ: \(4\sqrt{7}\) см.