Страница 151 номер 13.25, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(AB\), \(AC\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
\(AB = AC\)
угол \(BAC\) между наклонными равен \(60^\circ\)
угол между проекциями наклонных на плоскость \(\alpha\) равен \(90^\circ\)

Найти: угол между наклонными и плоскостью \(\alpha\).

Решение: Пусть \(AO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на плоскость \(\alpha\). Тогда отрезки \(OB\) и \(OC\) — проекции наклонных \(AB\) и \(AC\), и угол \(BOC\) между проекциями \(OB\) и \(OC\) равен \(90^\circ\). Поскольку \(AO \perp \alpha\), то \(\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ\). Острые углы \(ABO\) и \(ACO\) прямоугольных треугольников \(AOB\) и \(AOC\) равны углам между наклонными \(AB\), \(AC\) и их проекциями, то есть углам между прямыми \(AB\), \(AC\) и плоскостью \(\alpha\).

Пусть \(AB = AC = a\). Треугольник \(BAC\) равнобедренный с углом \(60^\circ\) при вершине \(A\), значит, он равносторонний и \(BC = a\). Равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, имеют равные проекции, поэтому \(OB = OC\). По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(BOC\) получаем: \(BC^2 = OB^2 + OC^2 = 2OB^2\), откуда \(OB = \frac{BC}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Из прямоугольного треугольника \(AOB\): \[\cos \angle ABO = \frac{OB}{AB} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Угол \(ABO\) острый, значит, \(\angle ABO = 45^\circ\). Равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы, поэтому и прямая \(AC\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(45^\circ\).

Ответ: каждая из наклонных образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(45^\circ\).