Страница 144 номер 12.32, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(AB = BC = CA = 6\) см
точка \(M\) удалена от прямых \(AB\), \(BC\), \(CA\) на 14 см

Найти: расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\).

Решение: Точка плоскости, равноудалённая от двух пересекающихся прямых этой плоскости, лежит на биссектрисе одного из углов, образованных этими прямыми. Поэтому точка плоскости \(ABC\), равноудалённая от прямых \(AB\), \(BC\) и \(CA\), — это точка пересечения биссектрис внутренних или внешних углов треугольника \(ABC\), т. е. центр вписанной окружности или центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника, а расстояние от неё до этих прямых равно радиусу соответствующей окружности. Обозначим центр вписанной окружности \(O_1\), а центры вневписанных окружностей, касающихся сторон \(BC\), \(CA\) и \(AB\), — соответственно \(O_2\), \(O_3\) и \(O_4\).

Пусть \(AH\) — высота равностороннего треугольника \(ABC\); она является и медианой, поэтому \(BH = 3\) см и \(AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt{3}\) (см). Центр вписанной окружности равностороннего треугольника — точка пересечения его медиан; она делит медиану \(AH\) в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому радиус вписанной окружности \(r_1 = O_1H = \frac{1}{3}AH = \sqrt{3}\) см.

Внешний угол треугольника при вершине \(B\) равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), и его биссектриса образует со стороной \(BC\) угол \(60^\circ\); так же при вершине \(C\). Центр \(O_2\) лежит на биссектрисах внешних углов при вершинах \(B\) и \(C\), поэтому в треугольнике \(BO_2C\) углы при вершинах \(B\) и \(C\) равны по \(60^\circ\), т. е. этот треугольник равносторонний со стороной 6 см. Расстояние от точки \(O_2\) до прямой \(BC\) равно высоте этого треугольника, т. е. \(3\sqrt{3}\) см, — это радиус \(r_2\) окружности с центром \(O_2\). Аналогично \(r_3 = r_4 = 3\sqrt{3}\) см.

Точка \(M\) не лежит в плоскости \(ABC\): точки этой плоскости, равноудалённые от прямых \(AB\), \(BC\), \(CA\), удалены от них на \(\sqrt{3}\) см или на \(3\sqrt{3}\) см, а не на 14 см.

Пусть \(O\) — проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC\), а \(N\), \(P\), \(E\) — основания перпендикуляров, опущенных из точки \(O\) на прямые \(AB\), \(BC\), \(CA\). Точка \(O\) не лежит ни на одной из этих прямых: если бы, например, \(O \in AB\), то расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) было бы равно длине перпендикуляра \(MO\), а расстояние до той из прямых \(BC\), \(CA\), которая не проходит через точку \(O\), — длине наклонной, проведённой из точки \(M\) к плоскости \(ABC\); наклонная длиннее перпендикуляра, а по условию эти расстояния равны.

Отрезок \(ON\) является проекцией наклонной \(MN\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(ON\), тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(MN \perp AB\), т. е. длина отрезка \(MN\) — расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\): \(MN = 14\) см. Аналогично \(MP \perp BC\), \(ME \perp CA\) и \(MP = ME = 14\) см. В прямоугольных треугольниках \(MON\), \(MOP\), \(MOE\) катет \(MO\) общий, гипотенузы равны, следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе, и \(ON = OP = OE\). Значит, точка \(O\) равноудалена от прямых \(AB\), \(BC\), \(CA\), т. е. совпадает с одной из точек \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\), \(O_4\), а \(ON\) — радиус соответствующей окружности.

Длина перпендикуляра \(MO\) — расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\). Поскольку \(MO \perp ABC\), то \(\angle MON = 90^\circ\) и \(MO = \sqrt{MN^2 - ON^2}\).

Если \(O\) — центр вписанной окружности, то \(ON = \sqrt{3}\) см и \(MO = \sqrt{14^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{193}\) (см).

Если \(O\) — центр одной из вневписанных окружностей, то \(ON = 3\sqrt{3}\) см и \(MO = \sqrt{14^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{196 - 27} = 13\) (см).

Оба случая возможны: если точка \(M\) лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости \(ABC\) и проходит через любой из центров \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\), \(O_4\), на найденном расстоянии от этой плоскости, то по теореме о трёх перпендикулярах расстояние от неё до каждой из прямых \(AB\), \(BC\), \(CA\) равно \(\sqrt{MO^2 + ON^2} = 14\) см.

Ответ: \(\sqrt{193}\) см, если проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC\) — центр вписанной окружности треугольника, или 13 см, если она — центр одной из его вневписанных окружностей.