Страница 151 номер 13.27, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(BA\) — наклонная к плоскости \(\alpha\)
угол между прямой \(BA\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(45^\circ\)
\(AC \subset \alpha\)
угол между прямой \(AC\) и проекцией отрезка \(AB\) на плоскость \(\alpha\) равен \(30^\circ\)

Найти: \(\cos \angle BAC\).

Решение: Пусть \(BO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\). Тогда отрезок \(AO\) — проекция наклонной \(BA\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку \(BO \perp \alpha\), то \(\angle BOA = 90^\circ\); острый угол \(BAO\) прямоугольного треугольника \(BOA\) равен углу между наклонной \(BA\) и её проекцией \(AO\), то есть углу между прямой \(BA\) и плоскостью \(\alpha\): \(\angle BAO = 45^\circ\).

Прямая \(AC\) образует с прямой \(AO\) угол \(30^\circ\), а точка \(C\) может лежать на любом из двух лучей прямой \(AC\) с началом \(A\). Поэтому \(\angle OAC = 30^\circ\) или \(\angle OAC = 150^\circ\).

Пусть \(\angle OAC = 30^\circ\). Проведём в плоскости \(\alpha\) перпендикуляр \(OD\) к прямой \(AC\). Угол \(OAC\) не прямой, поэтому точка \(D\) отлична от \(A\). В прямоугольном треугольнике \(ODA\) угол \(OAD\) острый, а луч, дополнительный к лучу \(AC\), образует с лучом \(AO\) угол \(150^\circ\); поэтому точка \(D\) лежит на луче \(AC\) и \(\angle OAD = 30^\circ\). Отрезок \(OD\) — проекция наклонной \(BD\) на плоскость \(\alpha\), \(OD \perp AC\), а прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах \(BD \perp AC\).

Из прямоугольных треугольников \(BOA\), \(ODA\) и \(BDA\) получаем: \[\begin{aligned} AO &= AB \cdot \cos 45^\circ; \\ AD &= AO \cdot \cos 30^\circ = AB \cdot \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ; \\ \cos \angle BAD &= \frac{AD}{AB} = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}. \end{aligned}\]

Точка \(D\) лежит на луче \(AC\), поэтому \(\cos \angle BAC = \cos \angle BAD = \frac{\sqrt{6}}{4}\).

Если же \(\angle OAC = 150^\circ\), то с лучом \(AO\) угол \(30^\circ\) образует луч, дополнительный к лучу \(AC\), и основание \(D\) перпендикуляра \(OD\) к прямой \(AC\) лежит на этом луче — на продолжении отрезка \(CA\) за точку \(A\), причём \(\angle OAD = 30^\circ\). Как и выше, \(BD \perp AC\) и \(\cos \angle BAD = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4}\). Углы \(BAC\) и \(BAD\) смежные, поэтому \[\cos \angle BAC = \cos (180^\circ - \angle BAD) = -\cos \angle BAD = -\frac{\sqrt{6}}{4}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{4}\), если луч \(AC\) образует с проекцией \(AO\) отрезка \(AB\) угол \(30^\circ\) (угол \(BAC\) острый), или \(-\frac{\sqrt{6}}{4}\), если этот угол равен \(150^\circ\) (угол \(BAC\) тупой).