Страница 149 номер 13.5, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сколько наклонных, образующих с плоскостью \(\alpha\) угол \(40^\circ\), можно провести из точки \(A\), не принадлежащей этой плоскости?
Пусть \(AO\) — перпендикуляр, проведённый из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\); \(AO > 0\), так как точка \(A\) не принадлежит плоскости \(\alpha\). Пусть \(AB\) — наклонная, образующая с плоскостью \(\alpha\) угол \(40^\circ\). Отрезок \(OB\) — её проекция на плоскость \(\alpha\); поскольку \(AO \perp \alpha\), треугольник \(AOB\) — прямоугольный с прямым углом \(O\), и его острый угол \(ABO\) равен углу между наклонной \(AB\) и плоскостью \(\alpha\): \(\angle ABO = 40^\circ\). Тогда \(OB = AO \operatorname{ctg} 40^\circ\). Значит, основание каждой такой наклонной лежит на окружности плоскости \(\alpha\) с центром \(O\) и радиусом \(AO \operatorname{ctg} 40^\circ\).
Наоборот, пусть \(B\) — любая точка этой окружности. Тогда \(OB = AO \operatorname{ctg} 40^\circ\), и из прямоугольного треугольника \(AOB\) получаем: \(\operatorname{tg} \angle ABO = \frac{AO}{OB} = \frac{1}{\operatorname{ctg} 40^\circ} = \operatorname{tg} 40^\circ\). Острый угол \(ABO\) с таким тангенсом равен \(40^\circ\), значит, наклонная \(AB\) образует с плоскостью \(\alpha\) угол \(40^\circ\).
Окружность содержит бесконечно много точек, и каждой из них отвечает своя наклонная. Следовательно, таких наклонных можно провести бесконечно много.
Ответ: бесконечно много; их основания заполняют окружность с центром в основании перпендикуляра, проведённого из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\).
