Страница 152 номер 13.39, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AD \perp ABC\)
\(\triangle ABC\) — остроугольный
\(AM\), \(BK\) — высоты треугольника \(ABC\)
\(\angle ACB = 45^\circ\)
\(AD = 4\) см
\(AC = 4\sqrt{2}\) см

Найти: угол между прямыми \(BK\) и \(DM\).

Решение: Поскольку \(AD \perp ABC\), то \(AD \perp AM\), и прямая \(AM\) — проекция прямой \(DM\) на плоскость \(ABC\) (точка \(M\) лежит в этой плоскости). Острый угол \(DMA\) прямоугольного треугольника \(DAM\) равен углу \(\alpha\) между прямой \(DM\) и плоскостью \(ABC\); \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).

Треугольник \(ABC\) остроугольный, поэтому основание \(M\) высоты \(AM\) лежит на стороне \(BC\), \(\angle AMC = 90^\circ\) и \(\angle ACM = 45^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(AMC\): \[AM = AC \cdot \sin 45^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \text{ (см)}.\]

Значит, \(AM = AD = 4\) см, прямоугольный треугольник \(DAM\) равнобедренный, и \(\alpha = \angle DMA = 45^\circ\).

Пусть \(H\) — точка пересечения высот \(AM\) и \(BK\), \(\beta\) — угол между прямой \(BK\), лежащей в плоскости \(ABC\), и проекцией \(AM\). Основание \(K\) высоты \(BK\) лежит на стороне \(AC\); из прямоугольного треугольника \(BKC\) (\(\angle BKC = 90^\circ\), \(\angle KCB = 45^\circ\)) получаем: \(\angle KBC = 45^\circ\). Высоты остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются внутри него, поэтому точка \(H\) лежит на отрезке \(BK\), а точка \(M\) — на стороне \(BC\). Значит, в прямоугольном треугольнике \(BMH\) (\(\angle BMH = 90^\circ\)) угол \(HBM\) равен углу \(KBC\), то есть \(45^\circ\), поэтому \(\angle BHM = 45^\circ\). Следовательно, \(\beta = 45^\circ\).

Если прямая образует с плоскостью угол \(\alpha\), где \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), а прямая, лежащая в этой плоскости, образует с проекцией первой прямой на плоскость угол \(\beta\), то угол \(\gamma\) между этими двумя прямыми удовлетворяет равенству \(\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta\). Прямая \(DM\) образует с плоскостью \(ABC\) угол \(\alpha = 45^\circ\), а прямая \(BK\) лежит в этой плоскости и образует с проекцией \(AM\) угол \(\beta = 45^\circ\), поэтому для угла \(\gamma\) между прямыми \(BK\) и \(DM\) \[\cos \gamma = \cos 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}.\]

Угол между прямыми не больше \(90^\circ\), значит, \(\gamma = 60^\circ\).

Ответ: угол между прямыми \(BK\) и \(DM\) равен \(60^\circ\).