Страница 150 номер 13.12, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) провели перпендикуляр \(AH\) и наклонные \(AB\) и \(AC\), образующие с плоскостью соответственно углы \(45^\circ\) и \(60^\circ\). Найдите отрезок \(AB\), если \(AC = 4\sqrt{3}\) см.
Дано:
\(AH\) — перпендикуляр к плоскости \(\alpha\)
\(AB\), \(AC\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(45^\circ\)
угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(60^\circ\)
\(AC = 4\sqrt{3}\) см
Найти: \(AB\).
Решение: Точка \(H\) — основание перпендикуляра, поэтому отрезки \(HB\) и \(HC\) — проекции наклонных \(AB\) и \(AC\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку \(AH \perp \alpha\), то \(\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ\). Острые углы \(ABH\) и \(ACH\) прямоугольных треугольников \(AHB\) и \(AHC\) равны углам между наклонными \(AB\), \(AC\) и их проекциями \(HB\), \(HC\), то есть углам между прямыми \(AB\), \(AC\) и плоскостью \(\alpha\): \(\angle ABH = 45^\circ\), \(\angle ACH = 60^\circ\).
Из прямоугольного треугольника \(AHC\) получаем: \[AH = AC \cdot \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \text{ (см)}.\]
Прямоугольный треугольник \(AHB\) с острым углом \(45^\circ\) равнобедренный: \(HB = AH = 6\) см. Тогда \[AB = \sqrt{AH^2 + HB^2} = \sqrt{36 + 36} = 6\sqrt{2} \text{ (см)}.\]
Ответ: \(6\sqrt{2}\) см.
