Страница 152 номер 13.42, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(\angle DAC = \angle DBC = \angle ACB = 90^\circ\)
\(AC = \sqrt{2}\) см
\(CD = 2\) см
\(BC = 1\) см

Найти: расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).

Решение: Пусть \(DO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на плоскость \(ABC\). Точка \(O\) не совпадает с \(A\): иначе \(DA \perp ABC\), отрезок \(AB\) был бы проекцией наклонной \(DB\), и из \(BC \perp DB\) по теореме о трёх перпендикулярах следовало бы, что \(BC \perp AB\), — тогда в треугольнике \(ABC\) было бы два прямых угла, при вершинах \(B\) и \(C\), а это невозможно. Аналогично точка \(O\) не совпадает с \(B\).

Значит, \(DA\) и \(DB\) — наклонные к плоскости \(ABC\), а \(OA\) и \(OB\) — их проекции. Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\) и перпендикулярна наклонной \(DA\), поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp OA\); так же \(BC \perp OB\). В плоскости \(ABC\) прямые \(OA\) и \(CB\) перпендикулярны прямой \(AC\), поэтому \(OA \parallel CB\); прямые \(OB\) и \(CA\) перпендикулярны прямой \(CB\), поэтому \(OB \parallel CA\). Следовательно, четырёхугольник \(OACB\) — параллелограмм, и \(OA = CB = 1\) см.

Из прямоугольного треугольника \(DAC\) (\(\angle DAC = 90^\circ\)): \[DA = \sqrt{DC^2 - AC^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \text{ (см)}.\]

Поскольку \(DO \perp ABC\), треугольник \(DOA\) прямоугольный (\(\angle DOA = 90^\circ\)), и \[DO = \sqrt{DA^2 - OA^2} = \sqrt{2 - 1} = 1 \text{ (см)}.\]

Ответ: 1 см.