Страница 151 номер 13.31, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(M\) — середина \(CD\)
\(AD = 5\) см
\(DC = 6\) см
\(DD_1 = 4\) см

Найти: угол между прямой \(A_1M\) и плоскостью \(CDD_1\).

Решение: Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, поэтому \(A_1D_1 \perp D_1D\) и \(A_1D_1 \perp D_1C_1\). Прямые \(D_1D\) и \(D_1C_1\) плоскости \(CDD_1\) пересекаются в точке \(D_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(A_1D_1 \perp CDD_1\). Значит, точка \(D_1\) — проекция точки \(A_1\) на плоскость \(CDD_1\), и прямая \(D_1M\) — проекция прямой \(A_1M\) на эту плоскость (точка \(M\) лежит в плоскости \(CDD_1\)). Поскольку \(A_1D_1 \perp CDD_1\), то \(A_1D_1 \perp D_1M\), и угол \(A_1MD_1\) — острый угол прямоугольного треугольника \(A_1D_1M\); он равен углу между прямой \(A_1M\) и плоскостью \(CDD_1\).

Противолежащие стороны прямоугольника \(AA_1D_1D\) равны, поэтому \(A_1D_1 = AD = 5\) см; \(DM = \frac{1}{2}DC = 3\) см. Грань \(DD_1C_1C\) — прямоугольник, поэтому \(DD_1 \perp DC\), и из прямоугольного треугольника \(D_1DM\) получаем: \[D_1M = \sqrt{DD_1^2 + DM^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \text{ (см)}.\]

Прямоугольный треугольник \(A_1D_1M\) равнобедренный: \(A_1D_1 = D_1M = 5\) см, поэтому \(\angle A_1MD_1 = 45^\circ\).

Ответ: прямая \(A_1M\) образует с плоскостью \(CDD_1\) угол \(45^\circ\).