Страницы 148-149 номер 13.1, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(O\) — центр грани \(ABCD\) (рис. 13.7).
Укажите угол между:
1) прямой \(AB_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\);
2) прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC\);
3) прямой \(AC_1\) и плоскостью \(CDD_1\);
4) прямой \(OA_1\) и плоскостью \(ABC\);
5) прямой \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\).
1) Поскольку \(AA_1 \perp A_1B_1\) и \(AA_1 \perp A_1D_1\) (грани куба — квадраты), а прямые \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AA_1 \perp A_1B_1C_1\). Значит, точка \(A_1\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(A_1B_1C_1\), а прямая \(A_1B_1\) — проекция прямой \(AB_1\) на эту плоскость. Угол \(AB_1A_1\) — острый угол прямоугольного треугольника \(AA_1B_1\), поэтому угол между прямой \(AB_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\) равен углу \(AB_1A_1\). Отрезок \(AB_1\) — диагональ квадрата \(AA_1B_1B\), поэтому \(\angle AB_1A_1 = 45^\circ\).
2) Поскольку \(CC_1 \perp CB\) и \(CC_1 \perp CD\), а прямые \(CB\) и \(CD\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CC_1 \perp ABC\). Значит, точка \(C\) — проекция точки \(C_1\) на плоскость \(ABC\), а прямая \(AC\) — проекция прямой \(AC_1\) на эту плоскость. Поскольку \(CC_1 \perp AC\), угол \(C_1AC\) — острый угол прямоугольного треугольника \(ACC_1\), поэтому угол между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC\) равен углу \(C_1AC\).
3) Поскольку \(AD \perp DC\) и \(AD \perp DD_1\), а прямые \(DC\) и \(DD_1\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp CDD_1\). Значит, точка \(D\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(CDD_1\), а прямая \(DC_1\) — проекция прямой \(AC_1\) на эту плоскость. Поскольку \(AD \perp DC_1\), угол \(AC_1D\) — острый угол прямоугольного треугольника \(ADC_1\), поэтому угол между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(CDD_1\) равен углу \(AC_1D\).
4) Поскольку \(AA_1 \perp AB\) и \(AA_1 \perp AD\), а прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AA_1 \perp ABC\). Значит, точка \(A\) — проекция точки \(A_1\) на плоскость \(ABC\); точка \(O\) лежит в этой плоскости, поэтому прямая \(OA\) — проекция прямой \(OA_1\) на плоскость \(ABC\). Поскольку \(AA_1 \perp AO\), угол \(A_1OA\) — острый угол прямоугольного треугольника \(A_1AO\), поэтому угол между прямой \(OA_1\) и плоскостью \(ABC\) равен углу \(A_1OA\).
5) Поскольку \(CD \perp DA\) и \(CD \perp DD_1\), а прямые \(DA\) и \(DD_1\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CD \perp ADD_1\). Значит, точка \(D\) — проекция точки \(C\) на плоскость \(ADD_1\), а прямая \(AD\) — проекция прямой \(AC\) на эту плоскость. Угол \(CAD\) — острый угол прямоугольного треугольника \(ADC\), поэтому угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\) равен углу \(CAD\). Отрезок \(AC\) — диагональ квадрата \(ABCD\), поэтому \(\angle CAD = 45^\circ\).
Ответ: угол между прямой и плоскостью равен: 1) углу \(AB_1A_1\), то есть \(45^\circ\); 2) углу \(C_1AC\); 3) углу \(AC_1D\); 4) углу \(A_1OA\); 5) углу \(CAD\), то есть \(45^\circ\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(O\) — центр грани \(ABCD\) (рис. 13.7).
Укажите угол между:
1) прямой \(AB_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\);
2) прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC\);
3) прямой \(AC_1\) и плоскостью \(CDD_1\);
4) прямой \(OA_1\) и плоскостью \(ABC\);
5) прямой \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\).
1) Поскольку \(AA_1 \perp A_1B_1\) и \(AA_1 \perp A_1D_1\) (грани куба — квадраты), а прямые \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AA_1 \perp A_1B_1C_1\). Значит, точка \(A_1\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(A_1B_1C_1\), а прямая \(A_1B_1\) — проекция прямой \(AB_1\) на эту плоскость. Угол \(AB_1A_1\) — острый угол прямоугольного треугольника \(AA_1B_1\), поэтому угол между прямой \(AB_1\) и плоскостью \(A_1B_1C_1\) равен углу \(AB_1A_1\). Отрезок \(AB_1\) — диагональ квадрата \(AA_1B_1B\), поэтому \(\angle AB_1A_1 = 45^\circ\).
2) Поскольку \(CC_1 \perp CB\) и \(CC_1 \perp CD\) (грани куба — квадраты), а прямые \(CB\) и \(CD\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CC_1 \perp ABC\). Значит, точка \(C\) — проекция точки \(C_1\) на плоскость \(ABC\), а прямая \(AC\) — проекция прямой \(AC_1\) на эту плоскость. Поскольку \(CC_1 \perp AC\), угол \(C_1AC\) — острый угол прямоугольного треугольника \(ACC_1\), поэтому угол между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(ABC\) равен углу \(C_1AC\).
3) Поскольку \(AD \perp DC\) и \(AD \perp DD_1\) (грани куба — квадраты), а прямые \(DC\) и \(DD_1\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp CDD_1\). Значит, точка \(D\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(CDD_1\), а прямая \(DC_1\) — проекция прямой \(AC_1\) на эту плоскость. Поскольку \(AD \perp DC_1\), угол \(AC_1D\) — острый угол прямоугольного треугольника \(ADC_1\), поэтому угол между прямой \(AC_1\) и плоскостью \(CDD_1\) равен углу \(AC_1D\).
4) Поскольку \(AA_1 \perp AB\) и \(AA_1 \perp AD\) (грани куба — квадраты), а прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AA_1 \perp ABC\). Значит, точка \(A\) — проекция точки \(A_1\) на плоскость \(ABC\); точка \(O\) лежит в этой плоскости, поэтому прямая \(OA\) — проекция прямой \(OA_1\) на плоскость \(ABC\). Поскольку \(AA_1 \perp AO\), угол \(A_1OA\) — острый угол прямоугольного треугольника \(A_1AO\), поэтому угол между прямой \(OA_1\) и плоскостью \(ABC\) равен углу \(A_1OA\).
5) Поскольку \(CD \perp DA\) и \(CD \perp DD_1\) (грани куба — квадраты), а прямые \(DA\) и \(DD_1\) пересекаются, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CD \perp ADD_1\). Значит, точка \(D\) — проекция точки \(C\) на плоскость \(ADD_1\), а прямая \(AD\) — проекция прямой \(AC\) на эту плоскость. Угол \(CAD\) — острый угол прямоугольного треугольника \(ADC\), поэтому угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(ADD_1\) равен углу \(CAD\). Отрезок \(AC\) — диагональ квадрата \(ABCD\), поэтому \(\angle CAD = 45^\circ\).
Ответ: угол между прямой и плоскостью равен: 1) углу \(AB_1A_1\), то есть \(45^\circ\); 2) углу \(C_1AC\); 3) углу \(AC_1D\); 4) углу \(A_1OA\); 5) углу \(CAD\), то есть \(45^\circ\).
