Страница 152 номер 13.32, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(K\) — середина \(AD\)
\(AD = 2\sqrt{2}\) см
\(DC = 3\) см
\(DD_1 = 1\) см

Найти: угол между прямой \(C_1K\) и плоскостью \(DAA_1\).

Решение: Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, поэтому \(C_1D_1 \perp D_1D\) и \(C_1D_1 \perp D_1A_1\). Прямые \(D_1D\) и \(D_1A_1\) плоскости \(DAA_1\) пересекаются в точке \(D_1\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(C_1D_1 \perp DAA_1\). Значит, точка \(D_1\) — проекция точки \(C_1\) на плоскость \(DAA_1\), и прямая \(D_1K\) — проекция прямой \(C_1K\) на эту плоскость (точка \(K\) лежит в плоскости \(DAA_1\)). Поскольку \(C_1D_1 \perp DAA_1\), то \(C_1D_1 \perp D_1K\), и угол \(C_1KD_1\) — острый угол прямоугольного треугольника \(C_1D_1K\); он равен углу между прямой \(C_1K\) и плоскостью \(DAA_1\).

Противолежащие стороны прямоугольника \(DD_1C_1C\) равны, поэтому \(C_1D_1 = DC = 3\) см; \(DK = \frac{1}{2}AD = \sqrt{2}\) см. Грань \(AA_1D_1D\) — прямоугольник, поэтому \(DD_1 \perp AD\), и из прямоугольного треугольника \(D_1DK\) получаем: \[D_1K = \sqrt{DD_1^2 + DK^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} \text{ (см)}.\]

Из прямоугольного треугольника \(C_1D_1K\): \[\operatorname{tg} \angle C_1KD_1 = \frac{C_1D_1}{D_1K} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.\]

Угол \(C_1KD_1\) острый, значит, \(\angle C_1KD_1 = 60^\circ\).

Ответ: прямая \(C_1K\) образует с плоскостью \(DAA_1\) угол \(60^\circ\).