Страница 149 номер 13.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\triangle ABC\) — правильный
\(AB = 6\) см
\(O\) — центр \(\triangle ABC\)
\(MA \perp ABC\)
\(MA = 2\) см

Найти: угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\).

Решение: Поскольку \(MA \perp ABC\), то точка \(A\) — проекция точки \(M\) на плоскость \(ABC\); точка \(O\) лежит в этой плоскости, поэтому прямая \(AO\) — проекция прямой \(MO\) на плоскость \(ABC\). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(MA \perp AO\), поэтому угол \(MOA\) — острый угол прямоугольного треугольника \(MAO\). Значит, угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\) равен углу \(MOA\).

Пусть \(K\) — середина стороны \(BC\). Медиана \(AK\) правильного треугольника является и его высотой, поэтому \(AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt{3}\) (см). Центр правильного треугольника — точка пересечения его медиан, а медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2 : 1\), считая от вершины. Значит, \(AO = \frac{2}{3}AK = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) (см).

Из прямоугольного треугольника \(MAO\) получаем: \(\operatorname{tg} \angle MOA = \frac{MA}{AO} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\), значит, \(\angle MOA = 30^\circ\).

Ответ: прямая \(MO\) образует с плоскостью \(ABC\) угол \(30^\circ\).