Страница 152 номер 13.41, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(DC \perp ABC\)
\(\angle ADB = 90^\circ\)
\(AC = CD = 1\) см
\(BC = \sqrt{3}\) см

Найти: расстояние от точки \(C\) до плоскости \(ADB\).

Решение: Пусть \(DM\) — высота прямоугольного треугольника \(ADB\); её основание \(M\) лежит на гипотенузе \(AB\). Поскольку \(DC \perp ABC\), точка \(C\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(D\) на плоскость \(ABC\), а точка \(M\) этой плоскости отлична от \(C\) (точка \(C\) не лежит на прямой \(AB\)). Значит, \(DM\) — наклонная к плоскости \(ABC\), а \(CM\) — её проекция. Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\) и перпендикулярна наклонной \(DM\), поэтому по теореме о трёх перпендикулярах \(AB \perp CM\). Кроме того, \(AB \perp DC\), так как \(DC \perp ABC\). Прямая \(AB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(CM\) и \(DC\) плоскости \(DCM\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AB \perp DCM\).

Пусть \(CK\) — высота треугольника \(DCM\). Прямая \(CM\) лежит в плоскости \(ABC\), а \(DC \perp ABC\), поэтому \(DC \perp CM\); значит, треугольник \(DCM\) прямоугольный, и точка \(K\) лежит на гипотенузе \(DM\). Прямая \(CK\) лежит в плоскости \(DCM\), поэтому \(AB \perp CK\); кроме того, \(CK \perp DM\). Прямая \(CK\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(DM\) и \(AB\) плоскости \(ADB\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CK \perp ADB\), и расстояние от точки \(C\) до плоскости \(ADB\) равно длине отрезка \(CK\).

Поскольку \(DC \perp ABC\), треугольники \(DCA\) и \(DCB\) прямоугольные: \[\begin{aligned} DA &= \sqrt{DC^2 + CA^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \text{ (см)}; \\ DB &= \sqrt{DC^2 + CB^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Из прямоугольного треугольника \(ADB\) получаем: \(AB = \sqrt{DA^2 + DB^2} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}\) см. Площадь этого треугольника равна \(\frac{1}{2}DA \cdot DB = \frac{1}{2}AB \cdot DM\), поэтому \[DM = \frac{DA \cdot DB}{AB} = \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ (см)}.\]

Из прямоугольного треугольника \(DCM\): \[CM = \sqrt{DM^2 - DC^2} = \sqrt{\frac{4}{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ (см)}.\]

Площадь прямоугольного треугольника \(DCM\) равна \(\frac{1}{2}DC \cdot CM = \frac{1}{2}DM \cdot CK\), поэтому \[CK = \frac{DC \cdot CM}{DM} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \text{ (см)}.\]

Ответ: \(0{,}5\) см.