Страница 136 номер 11.43, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Точка \(M\) такова, что \(OM = 1\) см. Через точку \(M\) проведена плоскость \(\alpha\), не имеющая с параллелограммом общих точек. Докажите, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости \(\alpha\) не больше 4 см.
Пусть \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) и \(O_1\) — основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(O\) на плоскость \(\alpha\) (эти точки принадлежат параллелограмму, поэтому в плоскости \(\alpha\) не лежат). Тогда сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости \(\alpha\) равна \(AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1\).
Прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\).
Если эти прямые различны, то они параллельны (две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны), поэтому точки \(A\), \(A_1\), \(C_1\), \(C\) лежат в одной плоскости, и эта плоскость пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(A_1C_1\). Диагональ \(AC\) — часть параллелограмма, поэтому она не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\), а значит, и с прямой \(A_1C_1\): точки \(A\) и \(C\) лежат по одну сторону от прямой \(A_1C_1\). Следовательно, \(AA_1C_1C\) — трапеция с основаниями \(AA_1\) и \(CC_1\) (при \(AA_1 = CC_1\) — прямоугольник). Ортогональная проекция — частный случай параллельной проекции, а параллельная проекция сохраняет отношение отрезков, лежащих на одной прямой. Поэтому проекция \(O_1\) середины \(O\) отрезка \(AC\) — середина отрезка \(A_1C_1\), и \(OO_1\) — средняя линия трапеции \(AA_1C_1C\): \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\). Для прямоугольника равенство то же: \(OO_1 = AA_1 = CC_1\).
Если же прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) совпадают, то есть \(AC \perp \alpha\), то точки \(A_1\), \(C_1\) и \(O_1\) совпадают и лежат на прямой \(AC\) вне отрезка \(AC\). Пусть, например, точка \(A\) лежит между \(A_1\) и \(C\); тогда \(AA_1 + CC_1 = AA_1 + (AA_1 + AC) = 2(AA_1 + AO) = 2OO_1\), то есть и в этом случае \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\).
Аналогично, рассматривая диагональ \(BD\), получаем \(OO_1 = \frac{BB_1 + DD_1}{2}\). Тогда
\[AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1 = 2OO_1 + 2OO_1 = 4OO_1.\]
Точка \(M\) лежит в плоскости \(\alpha\). Если \(M\) совпадает с \(O_1\), то \(OO_1 = OM\). Если \(M \ne O_1\), то \(OO_1\) и \(OM\) — перпендикуляр и наклонная, проведённые из точки \(O\) к плоскости \(\alpha\), а длина наклонной больше длины перпендикуляра, проведённого из той же точки: \(OO_1 < OM\). В обоих случаях \(OO_1 \leqslant OM = 1\) см, поэтому
\[AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1 = 4OO_1 \leqslant 4 \cdot 1 = 4 \text{ (см)}.\]
Ответ: сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости \(\alpha\) не больше 4 см.
Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Точка \(M\) такова, что \(OM = 1\) см. Через точку \(M\) проведена плоскость \(\alpha\), не имеющая с параллелограммом общих точек. Докажите, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости \(\alpha\) не больше 4 см.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Пусть \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) и \(O_1\) — основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(O\) на плоскость \(\alpha\) (эти точки принадлежат параллелограмму, поэтому в плоскости \(\alpha\) не лежат). Тогда сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости \(\alpha\) равна \(AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1\).
Докажем, что \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\). Прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\).
Если эти прямые различны, то они параллельны (две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны), поэтому точки \(A\), \(A_1\), \(C_1\), \(C\) лежат в одной плоскости, и эта плоскость пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(A_1C_1\). Диагональ \(AC\) — часть параллелограмма, поэтому она не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\), а значит, и с прямой \(A_1C_1\): точки \(A\) и \(C\) лежат по одну сторону от прямой \(A_1C_1\). Следовательно, \(AA_1C_1C\) — трапеция с основаниями \(AA_1\) и \(CC_1\) (при \(AA_1 = CC_1\) — прямоугольник). Ортогональная проекция — частный случай параллельной проекции, а параллельная проекция сохраняет отношение отрезков, лежащих на одной прямой. Поэтому проекция \(O_1\) середины \(O\) отрезка \(AC\) — середина отрезка \(A_1C_1\), и \(OO_1\) — средняя линия трапеции \(AA_1C_1C\): \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\). Для прямоугольника равенство то же: \(OO_1 = AA_1 = CC_1\).
Если же прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) совпадают, то есть \(AC \perp \alpha\), то точки \(A_1\), \(C_1\) и \(O_1\) совпадают и лежат на прямой \(AC\) вне отрезка \(AC\). Пусть, например, точка \(A\) лежит между \(A_1\) и \(C\); тогда \(AA_1 + CC_1 = AA_1 + (AA_1 + AC) = 2(AA_1 + AO) = 2OO_1\), то есть и в этом случае \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\).
Аналогично, рассматривая диагональ \(BD\), получаем \(OO_1 = \frac{BB_1 + DD_1}{2}\). Тогда
\[AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1 = 2OO_1 + 2OO_1 = 4OO_1.\]
Точка \(M\) лежит в плоскости \(\alpha\). Если \(M\) совпадает с \(O_1\), то \(OO_1 = OM\). Если \(M \ne O_1\), то \(OO_1\) и \(OM\) — перпендикуляр и наклонная, проведённые из точки \(O\) к плоскости \(\alpha\), а длина наклонной больше длины перпендикуляра, проведённого из той же точки: \(OO_1 < OM\). В обоих случаях \(OO_1 \leqslant OM = 1\) см, поэтому
\[AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1 = 4OO_1 \leqslant 4 \cdot 1 = 4 \text{ (см)}.\]
Ответ: сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости \(\alpha\) не больше 4 см.
