Страница 135 номер 11.31, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Точки \(O\) и \(O_1\) — центры соответственно граней \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) куба. Найдите расстояние между прямыми \(CD\) и \(OO_1\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(O\) — центр грани \(ABCD\)
\(O_1\) — центр грани \(A_1B_1C_1D_1\)
Найти: расстояние между прямыми \(CD\) и \(OO_1\).
Решение: Центры \(O\) и \(O_1\) граней — точки пересечения их диагоналей, то есть середины отрезков \(AC\) и \(A_1C_1\). Все грани куба — квадраты, поэтому рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны ребру \(BB_1\); две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(AA_1 \parallel CC_1\); кроме того, \(AA_1 = CC_1\). Следовательно, четырёхугольник \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\). Тогда \(AO \parallel A_1O_1\) и \(AO = A_1O_1\), четырёхугольник \(AOO_1A_1\) — тоже параллелограмм, и \(OO_1 \parallel AA_1\).
Ребро \(AA_1\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(AB\) и \(AD\) плоскости \(ABC\) (грани \(AA_1B_1B\) и \(AA_1D_1D\) — квадраты), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AA_1 \perp ABC\). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости, поэтому \(OO_1 \perp ABC\). Прямая \(CD\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(OO_1\) пересекает эту плоскость в точке \(O\), не принадлежащей прямой \(CD\); по признаку скрещивающихся прямых прямые \(CD\) и \(OO_1\) скрещиваются.
Пусть \(K\) — середина ребра \(CD\). Отрезок \(OK\) — средняя линия треугольника \(ACD\), поэтому \(OK \parallel AD\) и \(OK = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}\). Поскольку \(AD \perp CD\), то \(OK \perp CD\). Поскольку \(OO_1 \perp ABC\), то прямая \(OO_1\) перпендикулярна прямой \(OK\), лежащей в плоскости \(ABC\). Отрезок \(OK\) перпендикулярен прямым \(CD\) и \(OO_1\), а его концы лежат на этих прямых, следовательно, \(OK\) — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых \(CD\) и \(OO_1\).
Длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых равна расстоянию между этими прямыми, поэтому расстояние между прямыми \(CD\) и \(OO_1\) равно \(OK = \frac{a}{2}\).
Ответ: \(\frac{a}{2}\).
