Страница 142 номер 12.13, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DA \perp ABC\)
\(\angle ABC = 120^\circ\)
\(AB = 14\) см
расстояние от \(D\) до прямой \(BC\) равно \(2\sqrt{43}\) см

Найти: расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).

Решение: Проведём в плоскости \(ABC\) перпендикуляр \(AK\) к прямой \(BC\). Угол \(ABC\) тупой, поэтому точка \(K\) лежит на продолжении стороны \(CB\) за точку \(B\), и \(\angle ABK = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).

Отрезок \(DA\) — перпендикуляр к плоскости \(ABC\), отрезок \(DK\) — наклонная, а отрезок \(AK\) — её проекция на плоскость \(ABC\). Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(AK\) наклонной \(DK\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(BC \perp DK\). Значит, длина отрезка \(DK\) — расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\), т. е. \(DK = 2\sqrt{43}\) см.

Из \(\triangle ABK\) (\(\angle AKB = 90^\circ\)) получаем, что \(AK = AB \sin 60^\circ = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}\) (см).

Поскольку \(DA \perp ABC\), то \(\angle DAK = 90^\circ\), а длина перпендикуляра \(DA\) — расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\). Из \(\triangle DAK\) получаем, что \[DA = \sqrt{DK^2 - AK^2} = \sqrt{(2\sqrt{43})^2 - (7\sqrt{3})^2} = \sqrt{172 - 147} = 5 \text{ (см)}.\]

Ответ: 5 см.