Страница 135 номер 11.32, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\triangle ABC\)
\(m \perp ABC\)
\(A \in m\)
расстояние между прямыми \(m\) и \(BC\) — 8 см
\(BC = 10\) см

Найти: площадь треугольника \(ABC\).

Решение: Пусть \(AH\) — высота треугольника \(ABC\), проведённая к прямой \(BC\). Прямая \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(m\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), не принадлежащей прямой \(BC\), поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(m\) и \(BC\) скрещиваются.

Прямая \(m\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), её проекция на эту плоскость — точка \(A\), а проекция прямой \(BC\) — сама прямая \(BC\) (она лежит в плоскости \(ABC\)). Поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми \(m\) и \(BC\) равно расстоянию от точки \(A\) до прямой \(BC\), то есть длине высоты \(AH\): \(AH = 8\) см.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне, поэтому площадь треугольника \(ABC\) равна \(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40\) (см\(^2\)).

Ответ: 40 см\(^2\).