Страница 136 номер 11.38, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм
\(AD \subset \alpha\)
\(B_1\) и \(C_1\) — проекции точек \(B\) и \(C\) на плоскость \(\alpha\)
\(BB_1 = 8\) см
\(AB = 17\) см
\(B_1D = 24\) см
\(C_1A = 12\) см

Найти: \(AD\).

Решение: Точка \(B\) не лежит в плоскости \(\alpha\) (\(BB_1 = 8\) см), поэтому прямая \(BC\) не лежит в этой плоскости; она параллельна прямой \(AD\), лежащей в плоскости \(\alpha\), и по признаку параллельности прямой и плоскости \(BC \parallel \alpha\). Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости, поэтому \(CC_1 = BB_1 = 8\) см.

Точки \(A\) и \(D\) лежат в плоскости \(\alpha\), поэтому отрезок \(C_1A\) — проекция наклонной \(CA\), а отрезок \(B_1D\) — проекция наклонной \(BD\). Поскольку \(CC_1 \perp \alpha\) и \(BB_1 \perp \alpha\), то \(\angle CC_1A = \angle BB_1D = 90^\circ\). По теореме Пифагора

\[\begin{aligned} AC^2 &= C_1A^2 + CC_1^2 = 12^2 + 8^2 = 208; \\ BD^2 &= B_1D^2 + BB_1^2 = 24^2 + 8^2 = 640. \end{aligned}\]

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

\[\begin{aligned} AC^2 + BD^2 &= 2(AB^2 + AD^2); \\ 208 + 640 &= 2(17^2 + AD^2); \qquad | : 2 \\ 424 &= 289 + AD^2; \\ AD^2 &= 135. \end{aligned}\]

Следовательно, \(AD = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}\) (см).

Ответ: \(3\sqrt{15}\) см.