Страницы 141-142 номер 12.5, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Отрезок \(BD\) — перпендикуляр плоскости равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\) (рис. 12.12). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на прямую \(AC\).
Отметим середину \(K\) основания \(AC\) и проведём отрезки \(BK\) и \(DK\).
Медиана \(BK\) равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к основанию, является его высотой, поэтому \(BK \perp AC\).
Отрезок \(BD\) — перпендикуляр к плоскости \(ABC\), точка \(K\) лежит в этой плоскости и не совпадает с \(B\), значит, отрезок \(DK\) — наклонная, а отрезок \(BK\) — проекция наклонной \(DK\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(BK\) наклонной \(DK\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp DK\).
Точка \(K\) лежит на прямой \(AC\), и \(DK \perp AC\), поэтому отрезок \(DK\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на прямую \(AC\).
Ответ: искомый перпендикуляр — отрезок \(DK\), где \(K\) — середина основания \(AC\).
Отрезок \(BD\) — перпендикуляр плоскости равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\) (рис. 12.12). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на прямую \(AC\).
Отметим середину \(K\) основания \(AC\) и проведём отрезки \(BK\) и \(DK\). Докажем, что \(DK\) — искомый перпендикуляр.
Медиана \(BK\) равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к основанию, является его высотой, поэтому \(BK \perp AC\).
Отрезок \(BD\) — перпендикуляр к плоскости \(ABC\), точка \(K\) лежит в этой плоскости и не совпадает с \(B\), значит, отрезок \(DK\) — наклонная, а отрезок \(BK\) — проекция наклонной \(DK\) на плоскость \(ABC\). Прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(BK\) наклонной \(DK\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp DK\).
Точка \(K\) лежит на прямой \(AC\), и \(DK \perp AC\), поэтому отрезок \(DK\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на прямую \(AC\).
Ответ: искомый перпендикуляр — отрезок \(DK\), где \(K\) — середина основания \(AC\).
