Страница 135 номер 11.29, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — прямоугольник
\(A \in \alpha\), \(B \in \alpha\)
\(C \notin \alpha\), \(D \notin \alpha\)
\(AB = 5\) см
\(BC = 12\) см
проекция диагонали прямоугольника на плоскость \(\alpha\) — \(2\sqrt{22}\) см

Найти: расстояние от прямой \(CD\) до плоскости \(\alpha\).

Решение: Прямая \(CD\) не лежит в плоскости \(\alpha\) (точка \(C\) ей не принадлежит) и параллельна прямой \(AB\), лежащей в плоскости \(\alpha\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(CD \parallel \alpha\). Пусть \(C_1\) и \(D_1\) — проекции точек \(C\) и \(D\) на плоскость \(\alpha\). Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости, поэтому \(CC_1 = DD_1\) и искомое расстояние равно \(CC_1\).

Из прямоугольного треугольника \(ABC\) по теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\) (см). Диагонали прямоугольника равны, поэтому \(BD = AC = 13\) см.

Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), поэтому проекция диагонали \(AC\) на плоскость \(\alpha\) — отрезок \(AC_1\), а проекция диагонали \(BD\) — отрезок \(BD_1\). Пусть для определённости \(AC_1 = 2\sqrt{22}\) см (если дана проекция диагонали \(BD\), рассуждение то же: \(BD = AC\) и \(DD_1 = CC_1\)). Поскольку \(CC_1 \perp \alpha\), то \(\angle AC_1C = 90^\circ\).

Из прямоугольного треугольника \(AC_1C\) по теореме Пифагора

\[\begin{aligned} &CC_1 = \sqrt{AC^2 - AC_1^2} = \sqrt{13^2 - (2\sqrt{22})^2} = {} \\ &= \sqrt{169 - 88} = \sqrt{81} = 9 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Следовательно, расстояние от прямой \(CD\) до плоскости \(\alpha\) равно 9 см.

Ответ: 9 см.