Страница 136 номер 11.40, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(K\) — середина \(AA_1\)

Найти: расстояние от точки \(B_1\) до плоскости \(CBK\).

Решение: Все грани куба — квадраты, поэтому ребро \(BC\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(BA\) и \(BB_1\) плоскости \(AA_1B_1\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BC \perp AA_1B_1\).

В плоскости \(AA_1B_1\) проведём перпендикуляр \(B_1P\) к прямой \(BK\). Прямая \(B_1P\) лежит в плоскости \(AA_1B_1\), поэтому \(BC \perp B_1P\). Прямая \(B_1P\) перпендикулярна пересекающимся прямым \(BK\) и \(BC\) плоскости \(CBK\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1P \perp CBK\), и расстояние от точки \(B_1\) до плоскости \(CBK\) равно длине отрезка \(B_1P\).

В прямоугольном треугольнике \(BAK\) (\(\angle BAK = 90^\circ\)) катеты \(AB = a\) и \(AK = \frac{a}{2}\), поэтому \(BK = \sqrt{AB^2 + AK^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\). Углы \(AKB\) и \(KBB_1\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AA_1\) и \(BB_1\) и секущей \(BK\). Угол \(KBB_1\) острый (он равен острому углу \(AKB\) прямоугольного треугольника \(BAK\)), поэтому точка \(P\) лежит на луче \(BK\) и \(\angle PBB_1 = \angle KBB_1\). Значит, прямоугольные треугольники \(BAK\) и \(B_1PB\) подобны.

Следовательно, \(\frac{B_1P}{BB_1} = \frac{AB}{BK}\), откуда

\[B_1P = \frac{BB_1 \cdot AB}{BK} = \frac{a \cdot a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}.\]

Ответ: \(\frac{2a\sqrt{5}}{5}\).