Страница 135 номер 11.34, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(MH \perp \alpha\)
\(MA\), \(MB\) — наклонные
\(\angle MAH = 30^\circ\)
\(\angle MBH = 45^\circ\)
\(\angle AHB = 90^\circ\)

Найти: косинус угла \(AMB\) между наклонными \(MA\) и \(MB\).

Решение: Отрезки \(HA\) и \(HB\) — проекции наклонных \(MA\) и \(MB\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку \(MH \perp \alpha\), то \(\angle MHA = \angle MHB = 90^\circ\). Пусть \(MH = h\).

В прямоугольном треугольнике \(MHA\) катет \(MH\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \(MA = 2MH = 2h\) и \(HA = \sqrt{MA^2 - MH^2} = \sqrt{4h^2 - h^2} = h\sqrt{3}\). Прямоугольный треугольник \(MHB\) с острым углом \(45^\circ\) — равнобедренный, поэтому \(HB = MH = h\) и \(MB = \sqrt{MH^2 + HB^2} = \sqrt{h^2 + h^2} = h\sqrt{2}\).

Угол \(AHB\) между проекциями \(HA\) и \(HB\) равен \(90^\circ\), поэтому из прямоугольного треугольника \(AHB\) по теореме Пифагора \(AB = \sqrt{HA^2 + HB^2} = \sqrt{3h^2 + h^2} = 2h\).

По теореме косинусов для треугольника \(AMB\)

\[\begin{aligned} &\cos \angle AMB = \frac{MA^2 + MB^2 - AB^2}{2 \cdot MA \cdot MB} = \frac{4h^2 + 2h^2 - 4h^2}{2 \cdot 2h \cdot h\sqrt{2}} = {} \\ &= \frac{2h^2}{4\sqrt{2}h^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}. \end{aligned}\]

Ответ: косинус угла \(AMB\) между наклонными \(MA\) и \(MB\) равен \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).