Страница 142 номер 12.10, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DA \perp ABC\)
\(AB = 10\) см
\(AC = 17\) см
\(BC = 21\) см
расстояние от \(D\) до плоскости \(ABC\) равно 15 см

Найти: расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\).

Решение: Поскольку \(DA \perp ABC\), то отрезок \(DA\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(D\) на плоскость \(ABC\), и его длина — расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\): \(DA = 15\) см.

Проведём в плоскости \(ABC\) высоту \(AK\) треугольника \(ABC\) и отрезок \(DK\). Отрезок \(DK\) — наклонная, а отрезок \(AK\) — её проекция на плоскость \(ABC\). Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(AK\) наклонной \(DK\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(BC \perp DK\). Значит, длина отрезка \(DK\) — расстояние от точки \(D\) до прямой \(BC\).

Высоту \(AK\) найдём через площадь \(S\) треугольника \(ABC\), а площадь — по формуле Герона (\(p\) — полупериметр треугольника): \[\begin{aligned} p &= \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24 \text{ (см)}; \\ S &= \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = 84 \text{ (см}^2\text{)}; \\ AK &= \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{21} = 8 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Поскольку \(DA \perp ABC\), то \(\angle DAK = 90^\circ\). Из \(\triangle DAK\) получаем, что \[DK = \sqrt{DA^2 + AK^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17 \text{ (см)}.\]

Ответ: 17 см.