Страница 135 номер 11.35, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. §11. Перпендикуляр и наклонная. Страница 135. Номер 11.35

Задание / условие:

Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) проведены перпендикуляр \(AO\) и наклонные \(AB\) и \(AC\) так, что \(\angle ABO = \angle ACO = 45^\circ\), а косинус угла между наклонными равен \(\frac{1}{4}\). Найдите угол между проекциями данных наклонных.

Дано:
\(AO \perp \alpha\)
\(AB\), \(AC\) — наклонные
\(\angle ABO = \angle ACO = 45^\circ\)
\(\cos \angle BAC = \frac{1}{4}\)

Найти: угол \(BOC\) между проекциями \(OB\) и \(OC\).

Решение: Отрезки \(OB\) и \(OC\) — проекции наклонных \(AB\) и \(AC\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку \(AO \perp \alpha\), то \(\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ\). Пусть \(AO = h\). Прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(AOC\) с острым углом \(45^\circ\) — равнобедренные, поэтому \(OB = OC = AO = h\) и \(AB = AC = \sqrt{h^2 + h^2} = h\sqrt{2}\).

график

По теореме косинусов для треугольника \(BAC\)

\[\begin{aligned} &BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC = {} \\ &= 2h^2 + 2h^2 - 2 \cdot h\sqrt{2} \cdot h\sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} = 3h^2. \end{aligned}\]

Значит, \(BC = h\sqrt{3}\). Точки \(B\), \(O\), \(C\) не лежат на одной прямой: при \(OB = OC = h\) иначе было бы \(BC = 0\) или \(BC = 2h\).

график