Страница 141 номер 12.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рисунке 12.10 изображён равносторонний треугольник \(ABC\), точка \(D\) — середина стороны \(BC\). Прямая \(AM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Докажите, что \(MD \perp BC\).
Отрезок \(AM\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Точка \(D\) лежит в плоскости \(ABC\) и не совпадает с \(A\), значит, отрезок \(MD\) — наклонная, а отрезок \(AD\) — проекция наклонной \(MD\) на плоскость \(ABC\).
Медиана \(AD\) равностороннего треугольника \(ABC\) является и его высотой, поэтому \(AD \perp BC\). Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(AD\) наклонной \(MD\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(MD \perp BC\).
Ответ: прямые \(MD\) и \(BC\) перпендикулярны.
На рисунке 12.10 изображён равносторонний треугольник \(ABC\), точка \(D\) — середина стороны \(BC\). Прямая \(AM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Докажите, что \(MD \perp BC\).
Поскольку \(AM \perp ABC\), то отрезок \(AM\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Точка \(D\) лежит в плоскости \(ABC\) и не совпадает с \(A\), значит, отрезок \(MD\) — наклонная, а отрезок \(AD\) — проекция наклонной \(MD\) на плоскость \(ABC\).
Отрезок \(AD\) — медиана равностороннего треугольника \(ABC\), а медиана равностороннего треугольника является и его высотой, поэтому \(AD \perp BC\). Прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и перпендикулярна проекции \(AD\) наклонной \(MD\), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах \(MD \perp BC\).
Ответ: прямые \(MD\) и \(BC\) перпендикулярны.
