Страница 134 номер 11.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\)
\(AC = 6\) см
\(BC = 8\) см
\(DA = DB = DC = 13\) см

Найти: расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\).

Решение: По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) (см). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина \(O\) гипотенузы \(AB\), а радиус этой окружности равен половине гипотенузы: \(OA = OB = OC = 5\) см.

Точка \(D\) не лежит в плоскости \(ABC\): точка этой плоскости, равноудалённая от вершин треугольника, — центр \(O\) его описанной окружности, а он удалён от вершин на 5 см, тогда как точка \(D\) — на 13 см. Опустим из точки \(D\) перпендикуляр на плоскость \(ABC\). Если точка, не принадлежащая плоскости многоугольника, равноудалена от его вершин, то проекцией этой точки на плоскость многоугольника является центр его описанной окружности. Поэтому основание перпендикуляра — середина \(O\) гипотенузы \(AB\), \(DO \perp ABC\).

Поскольку \(DO \perp ABC\), то \(\angle DOA = 90^\circ\). Из прямоугольного треугольника \(DOA\): \(DO = \sqrt{DA^2 - OA^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) (см). Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) равно длине перпендикуляра \(DO\), то есть 12 см.

Ответ: 12 см.