Страница 134 номер 11.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Из точки \(A\) к плоскости \(\alpha\) проведены наклонные \(AB\) и \(AC\) длиной 25 см и 17 см соответственно. Найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\), если проекции данных наклонных на эту плоскость относятся как \(5 : 2\).
Дано:
\(AB\) и \(AC\) — наклонные к плоскости \(\alpha\)
\(AB = 25\) см
\(AC = 17\) см
проекции наклонных \(AB\) и \(AC\) относятся как \(5 : 2\)
Найти: расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\).
Решение: Пусть \(AO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на плоскость \(\alpha\). Тогда расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\) равно \(AO\), а отрезки \(OB\) и \(OC\) — проекции наклонных \(AB\) и \(AC\), \(OB : OC = 5 : 2\). Поскольку \(AO \perp \alpha\), то \(\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ\).
Пусть \(OB = 5x\) см, \(OC = 2x\) см. Прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(AOC\) имеют общий катет \(AO\).
По теореме Пифагора \(AO^2 = AB^2 - OB^2\) и \(AO^2 = AC^2 - OC^2\), поэтому
\[\begin{aligned} 25^2 - (5x)^2 &= 17^2 - (2x)^2; \\ 625 - 25x^2 &= 289 - 4x^2; \\ 21x^2 &= 336; \qquad | : 21 \\ x^2 &= 16. \end{aligned}\]
Поскольку \(x > 0\), то \(x = 4\) и \(OB = 5 \cdot 4 = 20\) (см). Следовательно, \(AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\) (см).
Ответ: 15 см.
