Страница 135 номер 11.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)

Найти: расстояние между прямыми \(B_1D_1\) и \(AA_1\).

Решение: Прямая \(B_1D_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\), а прямая \(AA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A_1\), не принадлежащей прямой \(B_1D_1\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(B_1D_1\) и \(AA_1\) скрещиваются.

Пусть \(O_1\) — точка пересечения диагоналей \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) квадрата \(A_1B_1C_1D_1\). Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому \(A_1O_1 \perp B_1D_1\). Все грани куба — квадраты, поэтому ребро \(AA_1\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) плоскости \(A_1B_1C_1\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AA_1 \perp A_1B_1C_1\). Значит, прямая \(AA_1\) перпендикулярна прямой \(A_1O_1\), лежащей в этой плоскости. Отрезок \(A_1O_1\) перпендикулярен прямым \(B_1D_1\) и \(AA_1\), а его концы лежат на этих прямых, следовательно, \(A_1O_1\) — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых \(B_1D_1\) и \(AA_1\).

Длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых равна расстоянию между этими прямыми. Из прямоугольного треугольника \(A_1B_1C_1\) по теореме Пифагора \(A_1C_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(A_1O_1 = \frac{A_1C_1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Следовательно, расстояние между прямыми \(B_1D_1\) и \(AA_1\) равно \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).